专题十七 主从联动模型（瓜豆模型）-【一战成名新中考】2024山东中考数学·培优册优质课件PPT

一、山东中考培优——模型方法篇 专题十七 主从联动模型（瓜豆模型） 山东数学 数学 1 类型1 直线型轨迹问题 模型梳理 问题：（1）如图①，点 是直线 外一定点，点 是直线 上一动点，连接 ，取 的中点 ，当点 在直线 上运动时，点 的轨迹是什么图形？ 图① 2 （2）如图②，点 是直线 外一定点，点 是直线 上一动点，连接 ， 以 为腰作等腰三角形 ，且 ，当点 在直线 上运动时， 点 的轨迹是什么图形？ 图② 3 思路：（1）定点到定直线的距离相等；（2）定角等比构造全等. 作法：（1）如图③，过点 , 分别作直线 的垂线 ， ，则 ，且 ， 是定值， 是定值，即点 到直线 的距离始终相等， 点 的轨迹是平行于直线 的一条直线. 图③ 4 （2）如图④，当点 运动到点 时，以 为腰作等腰三角形 ， 且 ， ， ， ， ， , ， 直线 与直线 的夹角为 ，即点 的轨迹为直线 . 图④ 5 总结：定点 为直线（线段）外一点，主动点 为直线上一点，从动点 为任意一点，若 为定角， 为定值，则从动点 的轨迹为一条直线（线段）.如问题（1）中定角为0，定值为 ；问题（2）中定角为 ，定值为1. 6 典例精析 例题图 例 如图，在矩形 中， ， ， 点 是对角线 上的一个动点，连接 ，以 为 斜边作 的直角三角形 ，使点 和点 位于 两侧，点 从点 到点 的运动过程中，点 的运动路径长是_ ___. 7 例题解图 【思路点拨】点 从点 到点 ，运动轨迹为线 段， 是定值，且 是定值， 点 的轨迹 也是一条线段，起点为点 与点 重合时点 的位 置，终点为点 与点 重合时点 的位置，如解图 所示，再通过解直角三角形求得轨迹 的长. 8 例题解图 【解析】 如解图①，由题意知，在 运动过程中 ， ， ， , 都在线段 上， , 也 在同一条线段上.如解图②，点 的运动轨迹为线段 ， ， ， ， ，当 9 点 与点 重合时，在 中， ， ， ， ， ；当点 与点 重合时， ， ， ， 在 中， . 针对训练 第1题图 1.如图，正方形 的边长为4， 为 上一点，且 ， 为 边上的一个动点，连接 ，以 为边 在正方形 内部作等边 ，连接 ，则 的最 小值为_ _. 11 第1题解图 【解析】 为定角， 为定值，点 在线段 上运动， 点 的运动轨迹也为线段，如解 图， ，过点 作 于点 ， 即 的最小值为 ，过点 作 于点 ，易证 四边形 为矩形， ， , 则 . 12 第2题图 2.（多解法）如图，在矩形 中， ， ，点 是 上的动点，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 .点 从点 向点 运动过程中， 的最小值为_ ___. 13 第2题解图 解法一 （一般解法）:如解图①,在 上截取 ,连接 , , ，则 和 均为等腰 直角三角形，易得 , , 点 在运动过程中始终有 , 点 在垂直于 的直线上运动， 的最小值为点 到直线 的距离， , 当 时， 为等 腰直角三角形, ， 为等腰直角三角形， ， ， , 即 的最小值 为 . 14 解法二（特殊解法）:如解图②,过点 作 于点 , 四边形 是矩形, , 绕点 顺时针旋转 得到 线段 , , ， , ， , , ,设 ,则 ，在 中， ， 当 时, 取得最小值，最小值为2, , 的最小值是 . 15 第3题图 3.[2022日照16题3分]如图，在平面直角坐标系 中， 点 的坐标为 ， 是 轴上一动点，把线段 绕 点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，则线段 长的最小值是___. 2 16 第3题解图 【解析】 如解图，构造等边三角形 ，连接 ， ， 则 和 均为等边三角形，易得 ， 点 在运动过程中始终有 , 点 在垂直于 的直线上运 动， 的最小值为点 到直线 的距离，如解图，当 点 在 处时