专题十五 辅助圆与圆中最值模型-【一战成名新中考】2024山东中考数学·培优册优质课件PPT

一、山东中考培优——模型方法篇 专题十五 辅助圆与圆中最值模型 山东数学 数学 1 （一）辅助圆模型 类型1 定点定长模型 模型梳理 类 型 等距成圆 旋转成圆 折叠成圆 斜边中点 图 示 2 类 型 等距成圆 旋转成圆 折叠成圆 斜边中点 轨 迹 情 况 点 , , 都 在圆心为点 ，半径为 的圆上 点 所在圆的圆 心为点 ，半径 为 ； 点 所 在圆的圆心为 点 ，半径为 点 在边 上 运动，折叠后 点 在圆心为 点 ，半径为 的圆上 点 ， 分别是射线 , 上的动点， , 为定 长，中点 在圆心为 点 ，半径为 的 圆上 续表 3 典例精析 例题图 例 如图，在矩形 中， ， ，点 是 的中点，点 是 上的动点，将矩形 沿 折叠，使点 落在点 处，连接 ， ，则 面积的最小值为_ __. 4 例题解图 【思路点拨】在折叠过程中 为定值，故点 的轨 迹是以点 为圆心， 长为半径的一段弧.在 中， 为定值，故只需点 到 的距离最小即可. 如解图，过点 作 的垂线 ，则当 最大时， 最小，此时点 与点 重合， 为半径. 5 例题解图 【解析】 如解图，过点 作 的垂线 ，交 于 点 ，交 于点 ， ， ， 要使 最小，只需 最小， 即 最大.由折叠可知 ，而随着 点 的运动，点 的轨迹是一段以点 为圆心， 长为半径的弧.由题 知当 时， 最大，即 最小，最小值为 ， 面积的最小值为 . 6 针对训练 第1题图 1.如图，在 中， ， ， ，点 , 分别是 , 的中点，标记点 的位 置，将 绕点 逆时针旋转一周，点 的对应点为 点 ，则在旋转过程中，线段 的最小值是___，最大 值是___. 3 9 7 第1题解图 【解析】 如解图，连接 ， ，在 中， ， ， ， ， ， 在旋转过程中点 的轨迹是 以点 为圆心，6为半径的圆.由题知 ，且当 ， ， 三点共线 时取等号. 是 的中点， ， ， 的最 小值是3，最大值是9. 8 第2题图 2.如图，在矩形 中， ， ，点 , 分别在 边 ， 上，且 ，点 是 的中点，连接 ， 则 的最小值是___. 7 9 第2题解图 【解析】 如解图，连接 ， ， ， 点 的轨迹是以点 为圆心，3为半径的一段弧.连接 交圆 弧于点 ， ， 当点 在 处时， 取得最小值. ， ， ， ，即 的 最小值为7. 10 第3题图 3.如图，在 中， ， ， ，点 是平面内一个动点，且 ， 为 的中点，在 点运动过程中，线段 长度的最小值为_ _. 11 第3题解图 【解析】 如解图，取 的中点 ，连接 ， ， 在 中， ， ， ， ， 点 是 的中点， ， 点 是 的中点， 点 是 的中点， 是 的中位线， ，在 中， ， ， 点 ， 点 是定点，点 是动点，且点 在以点 为圆心， 长为半径的圆 上运动， 当 ， ， 三点共线，且点 在 上时， 取得最小 值 . 12 类型2 定弦定角模型 模型梳理 类型 角为锐角 角为直角 角为钝角 图示 13 类型 角为锐角 角为直角 角为钝角 轨迹 情况 以 为底边在点 同侧 构造顶角为 的等腰 ，点 即为点 所在圆的圆心， 为半 径 点 所在圆的 圆心为 的中 点 ，半径为 以 为底边在点 异侧 构造顶角为 的等腰 ，点 即 为点 所在圆的圆心， 为半径 通法：作 中任意两边的垂直平分线，其交点即为圆心，圆心与任意一个顶点的连线即为半径 续表 14 典例精析 例题图 例 如图， ， 分别是边长为2的等边三角形 的两边 ， 上的动点，且 ， 与 交于点 ，则 点 到点 的最小值为_ ___. 15 例题解图 【思路点拨】点 是定点，点 是由点 ，点 变化引起 的从动点，要求点 到点 的最小值，即要确定点 的轨 迹.由题易得 ，从而得出 是定 值，则 为定值，则由“定弦定角模型”可得 点 的轨迹是一段弧（如解图所示