专题十四 十字模型-【一战成名新中考】2024山东中考数学·培优册优质课件PPT

一、山东中考培优——模型方法篇 专题十四 十字模型 山东数学 数学 1 模型梳理 图 示 正方形 矩形 作 法 — 过点 作 于点 过点 作 于点 ，过点 作 于点 2 结 论 ， ， ， ， 相似比为矩形邻边长之比 注：菱形对边距离相等，类似于正方形，构造全等；平行四边形对边距离不相等，类似于矩形，构造相似. 续表 3 典例精析 例题图 例 如图，点 ， ， 分别是正方形 的边 ， ， 上的点， 连接 ， ， ，且 ， ， 的度数为 ，则 的度数为( ) A. B. C. D. √ 4 例题解图 【思路点拨】正方形中有交叉相等，想“十字”模型，作垂直构全等；再结 合 ，得出 ，即得 是等腰直角三角形，最后得出 的值. 5 例题解图 【解析】 如解图，过点 作 于点 ，则 ，在 和 中， ， ， ， ， ，即点 为 中点， ， ，即 ， 为等腰直角三角形， ， . 6 针对训练 第1题图 1.如图， ， ， ， 分别是矩形 四条边上的 点， ， ， .若 ，则 的长为_ ____. 7 第1题解图 【解析】 如解图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，设 ， 交于点 ，则 ， ， ， ， ，又 ， ， ， ， ， ， 在 中， ， . 8 第2题图 2.如图，在平行四边形 中， ，点 ， ， 分别在边 ， ， 上，连接 ， 相交于点 ， ，若 ，则 ___. 4 9 第2题解图 【解析】 如解图，过点 作 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ， ， ， .在四边 形 中， ， ， , ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， . 10 第3题图 3.[2021青岛14题改编]如图，已知正方形 的边 长为3， 为 上一点，连接 并延长，交 的延 长线于点 ，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ， 为 的中点， 为 上一动点，分 别连接 ， .当 时，线段 的长为__， 的最小值为_ _____. 1 11 第3题图 【解析】 四边形 是正方形， ，易 证 ， , , ， ， ， , ， ;点 与点 关于 对称， ， ， 当 ， ， 三点共线时， 的值最小，最小值为 .在 中， ，又 , ， 是 的中点， ， ， 的最小值为 . 12 第4题图 4.[2021威海18题改编]如图，在边长 为4的正方形 中， ， 分别 是边 ， 上的动点，且 ， ， 交于点 . （1）如图①，当点 为 的中点时. 13 ①连接 ，点 为 的中点，连接 ，则 _ ___； 【解析】 四边形 是正方形， , ，又 ， ， ， ， ， 为直角三角形， ； 14 ②若点 关于直线 的对称点为 （翻折），则 _ ___； 【解析】 点 和点 关于 对称， ，在 中， 由 ， ，得 , ，由 ，解得 ， ； 15 ③（多解法）连接 ，则 _ _； 第4题解图 【解析】 解法一：如解图①，过点 作 交 于点 ， 交 于点 ， ，四边形 是平行四边 形， ，点 是 的中点， 为 的中位 线， 为 的中点， 垂直平分 ， ， ， .解法 二： ， , , , 四点共圆，如解图①， ， ； 16 第4题图 （2）点 从 运动到 停止. ①点 的轨迹长度为_ __； 【解析】 如解图②，点 的轨迹为 以 的中点 为圆心， 长为半 径的 圆弧， 其轨迹 长为 ； 17 ②如图②，连接 ，则 的最小值为_ ________. 图② 【解析】 连接 ， ， ， 当 , , 三点共线时， 最小，此时 . 18 $$