专题八 中点模型-【一战成名新中考】2024山东中考数学·培优册优质课件PPT

一、山东中考培优——模型方法篇 专题八 中点模型 山东数学 数学 1 类型1 构造中位线 模型梳理 情形1：三角形边上遇中点，一点作平行（图①）、两点连接（图②）构造中位线. 图① 图② 图示（ 是 边的中点） 2 结论： （图①）， （图②）. 情形2：有中点连线，倍长或作平行构造中位线. 图示（ 是 边的中点） 结论： ，且 . 3 典例精析 例题图 例 （多解法）如图，正方形 和正方形 的边长分别为3和1， 点 ， 分别在边 ， 上， 为 的中点，连接 ，则 的长 为_ ___. 4 例题解图 【思路点拨】解法一：有中点，构 造中位线确定直角边.如解图①，延 长 交 于点 ，过点 作 于点 ，则 是 的中位线，求得 的长和 的长， 在 中利用勾股定理求解. 解法二：有中点，倍长中线构全等确定直角边.如解图②，延长 至点 ， 使得 ，连接 ，则可证得 ，求得 和 的 长，在 中利用勾股定理求解. 5 【解析】 解法一：如解图①，延长 交 于点 ，过点 作 于点 ，则 是 的中点， 是 的中位线， .由题意知 ， 是等腰直 角三角形， ，在 中， ， .在 中， . 例题解图 6 解法二：如解图②，延长 至点 ，使得 ，连接 ， 是 的中点， ，在 和 中， ， ， ， ，即点 ， ， 共线， .又 ， 在 中， , . 图② 7 针对训练 第1题图 1.[2022安顺]如图，在 中， ， ， 是边 的中点， 是边 上 一点，若 平分 的周长，则 的长为 ( ) A. B. C. D. √ 8 第1题解图 【解析】 如解图，延长 至点 ，使 ， 连接 ， ， ， 为等边三角形， ， 平分 的周长， 是边 的中点， ， ， ， 是 的中位线， . 9 第2题图 2.[多解法·2023烟台23题改编]如图，点 为线段 上 一点，分别以 ， 为等腰三角形的底边，在 的同 侧作等腰 和等腰 ，且 .在线段 上取一点 ，使 ，连接 ， ， 的延 长线恰好经过 的中点 .若 ，则 的长为 _ _________ 10 第2题解图 【解析】 解法一： 是以 为底 的等腰三角形， ，同理可 得 ， ， ， ，如解图 ①，作 ，交 于 ， ， 为 的中点， ， ， ， ， ， ，设 11 ， ， ， ， ， ， ，即 ，解得 或 （舍去）， 的长为 . 解法二（倍长中线法） 如解图②，延长 、 交于点 ， 是以 为底的等腰三角形， ， ， ， ， ，又 ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ，解得 （负值已舍去）. 类型2 构造直角三角形斜边中线 模型梳理 条件：直角三角形斜边上遇中点，连接直角顶点与斜边中点构造斜边中线. 图示（ 是 边的中点） 结论： 是 的斜边中线，即 . 13 典例精析 例题图 例 如图，在 中， ， ， 分别是 ， 的中点，延长 至点 ，使 ，连 接 ， ， ．若 ，则 的长为___． 3 例题解图 【思路点拨】由题意得 ， ，结合 ，得到 ，那么连接 可将求 转化为求 ，而 恰是 斜边 上的中线. 14 例题解图 【解析】 如解图，连接 ， ， 分别是 ， 的中点， ， ，又 ， , , 四边形 是平行四边 形， ， 是 的中点， ， . 15 针对训练 第1题图 1.如图，将两个含 角的直角三角板摆放在一起， 为 的中点，连接 .若 ，则 的长为_ ___. 16 第1题解图 【解析】 在 中， ， ， .在 中， ， ， .如解图，连接 ， 为 的中点， 是 的斜边 上的中线， ， ， ， . 17 第2题图 2.如图，已知 ， ， ， 分别是 ， 的中点.若 ，则 _ ___. 18 第2题解图 【解析】 如解图，连接 ， ， ， 是 的中点， ， ， ，