专题七 函数中的相似三角形存在性问题-【一战成名新中考】2024山东中考数学·培优册优质课件PPT

一、山东中考培优——模型方法篇 专题七 函数中的相似三角形存在性问题 山东数学 数学 1 典例精析 例题图 例 如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，连接 ， ， 点 为 上一点，是否存在这样的点 ，使以 ， ， 为顶点的三角形与 相似？若存在，求点 的坐标； 若不存在，请说明理由. 2 【必备能力】相似三角形存在性问题解题思路 思维方式：相似三角形的判定定理：①三边成比例的两个三角形相似；②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；③两角分别相等的两个三角形相似. 坐标系中，在其中一个三角形顶点位置不确定的情况下，判断两三角形三边成比例是比较困难的，从而①很少用到；对比②、③可以发现，均有角相等这一条件.从而此类问题的<zzd>突破口</zzd>为先找到一组等角，再通过②、③找到两种解题思路：思路一：分类讨论两相等角的两边对应成比例；思路二：分类讨论另一组角相等. 3 解题要点： 思路一：通过两相等角的两边对应成比例，将问题转化为线段比相等问题.设出点的坐标（含参数），表示出等角的两边长，通过等角的两边长分别对应成比例（两种情况）列方程求解； 4 思路二：通过找另一组角相等，将问题转化为等角存在性问题.分情况讨论 两角相等时，可通过设点求正切值法（见专题六函数中的角度问题）求解， 设出点的坐标（含参数），分别表示出两等角的正切值，通过等角的正切 值相等列方程求解；特别地，若两等角为同位角或内错角时，两三角形有 一组边为平行关系，通过平行直线的“ ”值相等，求出直线表达式，通过 联立方程求解法求解. 5 图① 解：存在.以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，有两种情况： ①如解图①，当 时， ，则 . , , 可得直线 的解析式为 , 直线 的解析式为 , 直线 的解析式为 ， 与直线 的解析式 联立， 得 解得 ； 6 ②如解图②，当 时， ， . 过点 作 轴于点 ，则 ， 易得 ， ， ， ， . 综上所述，存在点 ，其坐标为 或 . 图② 7 针对训练 第1题图 1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别交 轴， 轴于 ， 两点，并与反比例 函数 的图象在第一象限内交于 ， 两点. （1）求 和 的值； 解： 一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 点， 解得 8 第1题图 （2）在 轴上是否存在一点 ，使 与 相似，若存在，求出 点 的坐标.若不存在，请说明理由. 【答案】 由（1）知一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ， 联立得 解得 或 . 9 一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于 ， 两点， ， ， ， . 设 ，由题意得 ， . ①当 时， ， ， ， ； ②当 时， ， . ， ， ， ， ，解得 ， . 综上所述，点 的坐标为 或 . 第2题图 2.如图，二次函数 的图象经过点 ， ，点 是线段 上一个动点，过点 作 垂直于 轴的直线分别交抛物线和直线 于点 和点 . 设点 的横坐标为 . （1）求二次函数的表达式； 解：把 ， 代入 得： 解得 ； 11 （2）若以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，求 的值. 第2题解图 【答案】 ， ， ， ， ， 易得直线 的解析式为 . 点 的横坐标为 , ，则 . ， 以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，分两种情况讨论： ①当 为直角时，如解图，过点 作 于点 ，易得 ， 12 ，即 ， ， ，解得 （舍去）， ； ②当 为直角时， 轴， 点 与点 关于对称轴对称， 对称轴为直线 ， ， ; 综上所述， 的值是 或 . $$