专题六 函数中的角度问题-【一战成名新中考】2024山东中考数学·培优册优质课件PPT

一、山东中考培优——模型方法篇 专题六 函数中的角度问题 山东数学 数学 1 典例精析 例1 （优质原创）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， 轴于点 ，连接 . 例1题图 2 例1题图 1.等角关系 （1）点 是 上一点，当 时，点 的坐标为 _ ______________； （2）点 是 上一点，且 . ①当点 在点 上方时， 与 轴的位置关系是_ _________， 此时点 的坐标为_ _____； ②当点 在点 下方时，设 与 轴的交点为 ，则 ___ ，点 的坐标为_ ______，点 的坐标为________ 或 轴 3 【必备能力】得到等角的方法 思维方式：①平行：两直线平行，同位角、内错角相等；②角平分线：角平分线分得的两个角相等；③等腰三角形：等边对等角；④全等（相似）三角形：对应角相等；⑤锐角三角函数：若两个锐角的同名三角函数值相等，则这两个锐角相等. 解题要点：等角问题中，若 ，在计算过程中通常将 转化为 . 4 2.半角、倍角关系 （1）点 是 上方 轴上一点，当 时，点 的坐标为 ___________； （2）点 是 上一点，当 时，点 的坐标为_ ______. 5 【必备能力】利用等腰三角形性质构造倍、半角 思维方式：如图，等腰三角形中顶角的外角等于两底角之和. 图① 图② 6 解题要点：（1）如图①，在 的延长线上截取 ，连接 ，则 ______ ______，即 ；（2）如图②，作 的垂直平分线交 于点 ，连接 ，则 ______ _ _____，即 . 7 例2 （优质原创）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ， 点 在抛物线上. 例2题图 （1）连接 ，点 在抛物线上，且 ， 求点 的坐标； 8 【必备能力】等角存在性问题解题要点 要点1：将 转化为 ； 要点2：求出 ； 一般解法：如解图①，过点 作 于点 ，连接 ，构造直角三角形求解； 9 要点3：求点 的坐标. 思路1：联立方程求解法：如解图②，在 轴上点 两侧各找到一个点 ，使得 ，则直线 与抛物线的交点即为点 ，求得直线 的表达式，与抛物线表达式联立求解即可得到点 的坐标； 10 思路2：设点求正切值法：设点 的坐标为 ，如解图 ②，过点 作 轴于点 ， _ ___.当点 在 轴上方时， _ _________；当点 在 轴下方时， _ ________. 【自主作答】 11 图① 解：如解图①，过点 作 于点 ，连接 ， ， ， ， ， .设 ，则 ，由勾股定理可得 ， 12 ，解得 ， ， . 如解图②，设 交 轴于点 . ①当点 在 轴上方时，点 也在 轴上方， ， ， 即 ， 直线 的解析式为 ， 图② 联立得 ，解得 （舍去）， ，此时 点 的坐标为 ， ； ②当点 在 轴下方时，点 也在 轴下方，同理可得 ， 直 线 的解析式为 ， 联立得 ，解得 （舍去）， ，此 时点 的坐标为 . （2）点 在 轴上，且点 在点 的下方，若 ，求点 的坐标. 【自主作答】 15 例2题解图③ 解： 如解图③，过点 作 于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 ，交 的延长 线于点 ， ， . ， ， ， 易证 ， ， . 16 设点 的坐标为 ，则 ， ， ， ， ， ，解得 ， ， 点 的坐标为 ， ， 直线 的解析式为 ,令 ，则 , 点 的坐标 为 . 【必备能力】构造一线三垂直解某角为特殊角（或已知角的正切值）问题 的一般方法 思维方式：通过构造等腰直角三角形一线三垂直，得到全等三角形，即可 得到相等线段，列出方程（组）求出直线 上一点的坐标，进而通过联 立方程求解法或设点求正切值法求点 的坐标. 解题要点：如解图③，过点 作 于点 ，过点 作 轴于 点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，易证 ， 设出点 的坐标，根据 ， 列方程求得点 的坐标，进 而求出直线 的解析式. 18 针对训练 第1题图 1.如图，一次函数