专题跟踪检测12 “立体几何”中的综合问题（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

专题跟踪检测（十二） “立体几何”中的综合问题 1.(2023·绵阳模拟)如图，已知底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥DQ，PA＝AD＝3DQ＝3，点E，F分别为线段PB，CQ的中点． (1)求证：EF∥平面PADQ； (2)线段PC上是否存在点M，使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：因为底面ABCD是正方形，且PA⊥平面ABCD，所以AP，AB，AD两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0,3)，C(3,3,0)，Q(0,3,1)，B(3，0,0)，E，F， 所以＝(0,3，－1)，＝(3,3，－3)，＝(－3，0,1)， 易知平面PADQ的一个法向量为a＝(1,0,0)，所以a·＝0.所以a⊥.又EF⊄平面PADQ，所以EF∥平面PADQ. (2)设平面PCQ的法向量为m＝(x0，y0，z0)，则⇒令x0＝1，可得m＝(1,2,3)． 假设存在点M，＝λ(λ∈)， 设M(x，y，z)，则(x，y，z－3)＝λ(3,3，－3)， 所以M(3λ，3λ，3－3λ)，得＝(3λ，3λ，3－3λ)．所以＝， 得12λ2－8λ＋1＝0，解得λ＝或λ＝，所以＝1或＝. 2．如图，线段AA1是圆柱OO1的母线，BC是圆柱下底面⊙O的直径． (1)弦AB上是否存在点D，使得O1D∥平面A1AC，请说明理由； (2)若BC＝2，∠ABC＝30°，点A1，A，B，C都在半径为的球面上，求二面角C－A1B－A的余弦值． 解：(1)当点D为AB的中点时，O1D∥平面A1AC，证明如下： 取AB的中点D，连接OD， ∵O，D分别为BC，AB的中点，则OD∥AC， OD⊄平面A1AC，AC⊂平面A1AC， ∴OD∥平面A1AC，又∵OO1∥AA1， OO1⊄平面A1AC，AA1⊂平面A1AC， ∴OO1∥平面A1AC， ∵OO1∩OD＝O，OO1，OD⊂平面OO1D， ∴平面OO1D∥平面A1AC， 由于O1D⊂平面OO1D，故O1D∥平面A1AC． (2)∵BC是⊙O的直径，可得∠BAC＝90°，即AB⊥AC，由于BC＝2，∠ABC＝30°，故AB＝，AC＝1， 又∵AA1⊥平面ABC，且AB，AC⊂平面ABC， ∴AA1⊥AB，AA1⊥AC， 即AB，AC，AA1两两垂直，且点A1，A，B，C都在半径为的球面上， 可知该球是以AB，AC，AA1为长、宽、高的长方体的外接球， 则AB2＋AC2＋AA＝(2)2，可得AA1＝2， 以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,2)， 得＝(，0，－2)，＝(0,1，－2)， 设n＝(x，y，z)为平面A1BC的法向量，则 令x＝2，则y＝2，z＝，可得n＝(2,2，)， 易知＝(0,1,0)为平面A1AB的一个法向量， 设二面角C－A1B－A的平面角为θ， 则cos θ＝＝＝＝，所以二面角C－A1B－A的余弦值为. 3．(2023·青岛一模)如图，在Rt△PAB中，PA⊥AB，且PA＝4，AB＝2，将△PAB绕直角边PA旋转到△PAC处，得到圆锥的一部分，点D是底面圆弧BC(不含端点)上的一个动点． (1)是否存在点D，使得BC⊥PD？若存在，求出∠CAD的大小；若不存在，请说明理由； (2)当四棱锥P－ABDC体积最大时，求平面PCD与平面PBD夹角的余弦值． 解：(1)当D为圆弧BC的中点，即∠CAD＝时，BC⊥PD．证明如下： ∵D为圆弧BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD＝，即AD为∠CAB的平分线． ∵AC＝AB，∴AD为等腰△CAB的高线，即AD⊥BC． ∵PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABDC，∴PA⊥平面ABDC，∴PA⊥BC． ∵PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴BC⊥平面PAD．∵PD⊂平面PAD，∴BC⊥PD． (2)由(1)得，PA为四棱锥P－ABDC的高．∵PA＝4，∴当底面积SABDC取最大值时，四棱锥P－ABDC体积最大． 设∠CAD＝α，则∠BAD＝－α，α∈， SABDC＝S△CAD＋S△BAD＝×2×2×sin α＋×2×2×sin＝2 ＝2sin. ∵α∈，∴α＋∈. ∴α＝时，sin＝1，SABDC取最大值2. ∴当四棱锥P－ABDC体积最大时，∠CAD＝∠BAD＝. 过A在平面ABDC内作直线AE⊥AB，交圆弧BC于点E，由题知AE，AB，AP两两垂直，则以A为原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(0,2,0)，D(，1,0)，C(，－