专题跟踪检测10 空间动态问题的题型研究（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

专题跟踪检测（十） 空间动态问题的题型研究 1．(2023·韶关一模)设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为底面正方形ABCD内的一动点，若三角形APC1的面积S＝，则动点P的轨迹是(　 ) A．圆的一部分 B．双曲线的一部分 C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分 解析：选D　设d是三角形APC1边AC1的高，S△APC1＝··d＝d＝，所以d＝，即点P到直线AC1的距离为定值.所以点P在以直线AC1为轴，以为底面半径的圆柱侧面上，直线AC1与平面ABCD既不平行也不垂直，所以点P的轨迹是平面ABCD上的一个椭圆，其中只有一部分在正方形ABCD内．故选D． 2.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱AB的中点，动点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，总有AP⊥D1M，则动点P的轨迹的长度为(　 ) A． B． C． D． 解析：选A　如图，分别取BC，BB1的中点E，F，连接AE，AF，EF，A1M，DM，A1F.因为M为AB的中点，E为BC的中点，四边形ABCD为正方形，所以DM⊥AE.又D1D⊥平面ABCD，所以D1D⊥AE.而DM∩D1D＝D，所以AE⊥平面D1DM. 所以D1M⊥AE.同理可得D1M⊥AF，又AE∩AF＝A，所以D1M⊥平面AEF.因为AP⊂平面AEF，所以AP⊥D1M，因为动点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，所以动点P的轨迹是线段EF.而EF＝，所以动点P的轨迹的长度为.故选A． 3．已知点A，B，C在半径为5的球面上，且AB＝AC＝2，BC＝2，P为球面上的动点，则三棱锥P－ABC体积的最大值为(　 ) A． B．　 C． D． 解析：选A　如图，M是△ABC的外心，O是球心，OM⊥平面ABC，当P是MO的延长线与球面交点时，P到平面ABC距离最大，由AB＝AC＝2，BC＝2，得cos∠ACB＝＝，则sin∠ACB＝，2AM＝＝＝8，AM＝4，OM＝＝＝3，PM＝3＋5＝8，又S△ABC＝AC·BC·sin∠ACB＝×2×2×＝7，所以最大的VP－ABC＝×7×8＝.故选A． 4．(2023·临汾一模)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面α⊥B1D，则以平面α截正方体所得的截面面积最大时的截面为底面，以B1为顶点的锥体的外接球的表面积为(　 ) A．12π B． C． D．6π 解析：选B　如图，由正方体的对称性，可知当截面为正六边形EFGHKI时，截面面积最大，此时正六边形的边长为，设B1D交截面EFGHKI于M，则M为B1D的中点，所以B1M＝B1D＝.设正六棱锥外接球的球心为O，外接球半径为R，当球心在棱锥内部时，有R2＝()2＋(－R)2，解得R＝，外接球表面积为4π×2＝；当球心在棱锥外部时，有R2＝()2＋(R－)2，解得R＝＜(舍去)．所以以B1为顶点的锥体的外接球的表面积为.故选B． 5．(多选)在梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC＝2CB，将△BDC沿BD折起，使C到C′的位置(C与C′不重合)，E，F分别为线段AB，AC′的中点，H在直线DC′上，那么在翻折的过程中(　 ) A．DC′与平面ABD所成角的最大值为 B．F在以E为圆心的一个定圆上 C．若BH⊥平面ADC′，则＝ D．当AD⊥平面BDC′时，四面体C′－ABD的体积取得最大值 解析：选ACD　如图，在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AB＝2AD＝2DC＝2CB，E是AB的中点，所以CD∥BE，CD＝BE.所以四边形BCDE是菱形．所以BC＝DE.由于AD＝DE＝AE，所以三角形ADE是等边三角形．所以DE＝AB，故AD⊥BD，∠BDC＝∠DBC＝.在将△BDC沿BD翻折至△BDC′的过程中，∠BDC，∠DBC的大小保持不变，由线面角的定义可知，DC′与平面ABD所成角的最大值为，故A正确；因为∠DBC大小不变，所以在翻折的过程中，C′的轨迹在以BD为轴的一个圆锥的底面圆周上．而EF是△ABC′的中位线，所以点F的轨迹在一个圆锥的底面圆周上，但此圆的圆心不是点E，故B不正确；当BH⊥平面ADC′时，BH⊥DH.因为∠HC′B＝，所以DC′＝BC′＝2C′H.所以＝3，故C正确；在翻折的过程中，△BC′D的面积不变，所以当AD⊥平面BDC′时，四面体C′－ABD的体积取得最大值，故D正确．故选A、C、D． 6．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N两点在线段A1C1上运动，且MN＝1，给出下列结论： ①在M，N两点的运动过程中，BD⊥平面BMN； ②在平面CDD1C1上存在一点P，使得PC∥平面BMN； ③三棱锥B1－MNB的体积为定值； ④以点D为球心作半径为2的球面，则球面被正方体表面所截得的所有弧长和为3π. 其中正确