第5板块 大题专攻(一) 圆锥曲线中的求值及证明问题（课件PPT）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

大题专攻(一) 圆锥曲线中的求值及证明问题 1 1 2 目 录 2 01 解题微“点” [思维建模] 解决与弦长、面积有关问题的解题策略 (1)求弦长的主要方法是联立直线与圆锥曲线的方程，然后用根与系数的关系及弦长公式求解，抛物线中的焦点弦问题可用定义转化进行求解； (2)求平面图形的面积(或面积的取值范围)，关键是求出面积的表达式，平面图形的面积经常转化为三角形的面积来求解．　 02 [思维建模] 圆锥曲线中的证明问题 (1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)． (2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．　　 解：(1)将y＝kx－2pk＋2p代入x2＝2py，化简得x2－2pkx＋4p2(k－1)＝0(*)， 方程(*)的判别式Δ＝4p2k2－4(4p2k－4p2)＝0，化简得k2－4k＋4＝0，即k＝2. (2)证明：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)，E(xE，yE)，F(xF，yF)， 设抛物线x2＝2py在A点处的切线方程为y－yA＝kA(x－xA)， “专题跟踪检测”见“专题跟踪检测（二十一）” 本课结束 　证明问题 　求值问题 　求值问题 [例1]　(2023·石家庄模拟)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，抛物线C2：y2＝4x的准线过点F1， 且C2的准线与C1交于M，N，|MN|＝3. (1)求C1的方程； (2)如图，过F2作直线l交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，O为坐标原点，记△OAB，△F1CD的面积分别是S1，S2，且S2＝4S1，求直线l的方程． 切入点 (1)根据抛物线的准线可得椭圆的焦点，进而根据椭圆的对称性可知在椭圆上，代入即可求解． (2)根据面积关系转化成|CD|＝2|AB|，进而联立直线与曲线的方程，由弦长公式以及焦点弦公式即可表示|AB|，|CD|，代入|CD|＝2|AB|即可求解直线的斜率 易错点 忽视对直线斜率存在与否的讨论而致错 [解]　(1)由题意知抛物线C2：y2＝4x的准线方程是x＝－1，所以F1(－1,0)． 由题意可知点在椭圆上， 所以解得a＝2，b＝. 所以C1的方程是＋＝1. (2)因为O为F1，F2的中点，所以O到直线l的距离为F1到l距离的一半，又S2＝4S1，所以|CD|＝2|AB|. 当直线l的斜率不存在时，易得|AB|＝3，|CD|＝4不符合题意． 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)， 联立方程组可得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝， 由两点间距离公式可得，|AB|＝·＝4－， 联立方程组可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则x3＋x4＝2＋，x3x4＝1， 所以|CD|＝x3＋x4＋2＝4＋. 因为＝＝2，解得k＝±， 所以直线l的方程是x－2y－＝0或x＋2y－＝0. [对点训练] 1．双曲线最早由门奈赫莫斯发现， 后来阿波罗尼斯进行了总结和完善．在他的著作中，双曲线也被称作“超曲线”. 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实半轴长为2，左、右顶点分别为A1，A2，经过点B(4,0)的直线l与C的右支分别交于M，N两点，其中点M在x轴上方． (1)若l⊥x轴时，|MN|＝2，设直线MA1，NA2的斜率分别为k1，k2，求的值； (2)若∠BA2N＝2∠BA1M，求△A1MN的面积． 解：(1)由题意得解得所以双曲线C的方程为－＝1. 设MN的方程为x＝my＋4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，A1(－2,0)，A2(2,0)，联立可得(m2－2)y2＋8my＋12＝0，m2≠2，Δ＝64m2－4(m2－2)×12＝16m2＋96>0，y1＋y2＝－，y1y2＝， 因为k1＝，k2＝， 所以＝·＝＝ ＝＝＝－. (2)设∠BA1M＝θ，所以∠BA2N＝2θ，由＝－3，可得＝3，所以＝3，解得tan θ＝. 所以A1M的方程为x＝y－2，联立可得y2－4y＝0，解得y1＝4， 同理联立解得y2＝－， 所以S△A1MN＝×6×|y1－y2|＝3×＝. 　证明问题 [例2]　(2023·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为. (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4,0)的直线与C的左支交于