第3板块 大题专攻(一) “立体几何”中的空间角与距离问题（课件PPT）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

大题专攻(一) “立体几何”中的空间角与距离问题 1 1 2 目 录 3 2 01 [例1]　(2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD 中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为 AC的中点． (1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值． [解]　(1)证明：因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，所以△ADB≌△CDB，所以AB＝BC． 因为E为AC的中点，所以AC⊥BE，AC⊥DE. 又BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BED，所以AC⊥平面BED． 又AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD． [思维建模] 1．用向量法破解此类线面所成角问题的关键 用定理 利用平行或垂直的判定定理，明确写出所证明的推理过程，注意推理的严谨性 建系 找出(或作出)两两垂直的三条直线，建立适当的空间直角坐标系 求向量 先分别求出几何体相关点的坐标，利用“终减起”，求出直线的方向向量，利用赋值法求出平面的法向量等 用公式 求两法向量的夹角的余弦值 得结论 根据向量夹角与线面角的关系，将向量夹角转化为所求的空间线面角 续表 2.用几何法破解此类线面所成角问题的关键 [对点训练] 1．(2023·徐州三模)如图，三棱锥P－ABC的 底面为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝2. D，E分别为AC，BC的中点，PD⊥平面ABC，点 M在线段PE上． (1)再从条件①、②、③、④中选择两个作为已知，使得平面MBD⊥平面PBC，并给予证明； 02 [解]　(1)证明：如图，连接DE，AE， 因为DC＝DB，且E为BC的中点，所以DE⊥BC． 因为∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DA，DB＝DC， 所以△ADB≌△ADC． 可得AC＝AB，故AE⊥BC． 因为DE∩AE＝E，DE，AE⊂平面ADE，所以BC⊥平面ADE.又DA⊂平面ADE，所以BC⊥DA． (2)向量法：如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角的平面角是钝角还是锐角． [对点训练] 2.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边 长为2的正方形，△PAB为正三角形，且侧面PAB⊥ 底面ABCD，PM＝MD． (1)求证：BP∥平面ACM； (2)求平面MBC与平面DBC夹角的余弦值． 解：(1)证明：连接BD，与AC交于点O，连接OM.在△PBD中，因为O，M分别为BD，PD的中点，所以BP∥OM. 因为BP⊄平面ACM，OM⊂平面ACM，所以BP∥平面ACM. (2)设E是AB的中点，连接PE.因为△PAB为正 三角形，所以PE⊥AB． 又因为侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAB∩底面 ABCD＝AB，PE⊂平面PAB，所以PE⊥平面ABCD． 过E作EF平行于CB与CD交于点F.以E为原点，分别以EB，EF，EP为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 03 [例3]　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中， AB＝4，AD＝AA1＝2，E是A1D1的中点，平面ACE 与棱C1D1相交于点F. (1)求证：点F为C1D1的中点； (2)若点G为棱AB上一点，且D1G⊥AC，求点G到平面ACE的距离． [解]　(1)证明：法一：因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ACE∩平面ABCD＝AC，平面ACE∩平面A1B1C1D1＝EF，所以EF∥AC．连接A1C1，因为AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形AA1C1C是平行四边形．所以A1C1∥AC，EF∥A1C1.因为E是A1D1的中点，所以点F为C1D1的中点． 法二：连接A1C1.因为AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形AA1C1C是平行四边形．所以AC∥A1C1.因为AC⊄平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，所以AC∥平面A1B1C1D1.因为AC⊂平面ACE，平面ACE∩平面A1B1C1D1＝EF，所以AC∥EF.所以EF∥A1C1.因为E是A1D1的中点，所以点F为C1D1的中点． 法二：连接DG，因为DD1⊥平面ABCD，所 以DD1⊥AC， 因为D1G⊥AC，DD1∩D1G＝D1，DD1， D1G⊂平面D1DG，所以AC⊥平面D1DG.又DG⊂平面D1DG，所以AC⊥DG. 在平面ABCD内，由tan∠ADG·tan∠DAC＝1， [思维建模]　求点面距离的3种方法 等体积法 立体几何中求点到平面距离的一种常用方法，掌握这种方法的关键