第3板块 大题专攻(三) “立体几何”大题的思维建模（课件PPT）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

大题专攻(三) “立体几何”大题的思维建模 1 一 宏观掌握解题通路：立体几何问题重在“建”——建模、建系 立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建模、建系． 建模——将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距离等的计算模型，有时也需建立函数模型； 建系——依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解．　 [解题示范] [典例]　(2021·新课标Ⅰ卷) 如图，在三棱锥 A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O 为BD的中点． (1)证明：OA⊥CD． (2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E－BC－D的大小为45°，求三棱锥A－BCD的体积． [关键点拨] 1．利用法向量求解空间角的关键在于“四破” 破“建系关” 构建恰当的空间直角坐标系 破“求方向向量关” 首先准确求解相关点的坐标 破“求法向量关” 求出平面的法向量 破“应用公式关” 熟记求角公式，即可求出角 2.解答立体几何问题，应具备以下5点思维 (1)由于空间图形问题往往可转化为平面图形问题加以解决，因此要注意平面几何知识在解题中的灵活运用．例如，证线线平行可以利用三角形、梯形的中位线性质定理，还可以利用比例关系；证线线垂直可以利用菱形、正方形的对角线互相垂直，还可以利用勾股定理的逆定理． (2)立体几何中证明有关平行或垂直问题时，由于大多数问题主要考查的是有关判定定理在证题中的灵活运用，所以我们要优先考虑对应的判定定理去寻找证题思路． (3)立体几何中证明有关平行或垂直问题时，若对应的判定定理不便于运用，则应该及时考虑其他的证题思路．例如，要证线面平行，可以先证面面平行，再利用面面平行的性质；要证明线面垂直，可以先证面面垂直，再利用面面垂直的性质． (4)分析、解决有关立体几何问题时，往往需要考虑数形结合思想、分类与整合思想、转化思想在解题中的灵活应用． (5)由于立体几何解答题侧重考查空间向量法在解题中的灵活运用，所以必须熟练掌握利用空间向量法求解空间角的具体过程． 二 微观优化解题细节：提升五大能力，突破立体几何中的解题障碍点 能力(一)　提高识图、作图能力　 识图、作图能力是学好立体几何应具备的重要能力之一，学生的识图、作图能力弱主要集中在作图问题、球问题的直观呈现和转化、展折问题的图形分析等．要提高识图、作图能力，需要理解作图的原理，在此基础上，培养模型意识和动手能力． [反思领悟] 本题往往会因为对直径认识不足(球心O为SC的中点)，而纠结如何作图(球内接三棱锥S－ABC)，不懂得对问题进行转化(VS－ABC＝2VO－ABC)，只有正确理解才能把问题转化为求三棱锥O－ABC的体积，再结合球的定义即可解决．　　 [反思领悟] 解答本题的最大障碍是不会过顶点A作出平面α，解决的方法是通过“补体”快速实现把平面CB1D1“外移”，观察和作出平行线是本题作图的关键，常用的方法有利用中位线或平行四边形的性质等，尤其要注意长方体中的一些常见的平行关系(如本题D2B2∥CB1，AD2∥D1B1，AB2∥CD1)和垂直关系，以增加作图的方向感．　　 能力(二)　厘清相关概念　 数学概念是思考问题、解决问题的出发点，很多同学由于概念意识不强，无法快速地把概念文本转化为相应的空间几何体，易把“异面直线所成的角”与“向量的夹角”混淆，易把“线面所成的角”等同“直线与平面法向量的夹角”，易分辨不清“二面角的平面角”与“两个法向量的夹角”之间的差异，同时对“线面所成的角”或“二面角的平面角”易忽视其定义的本质(即“找、证、算”)，而陷入盲目的计算，使得问题复杂化． [例3]　如图，已知四棱锥P－ABCD中，平面PAB ⊥平面ABCD，△PAB为等边三角形，底面ABCD为 直角梯形，∠DAB＝90°且AB＝2CD，点M在PB上． (1)若M为PB的中点，求证：DM⊥PB； (2)若AD＝CD，二面角M－AD－C为30°，求直线DM与平面PBC所成角的余弦值． [解题观摩] (1)证明：∵△PAB为等边三角形，M为PB的中点，∴AM⊥PB． 又∵平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，DA⊥AB，DA⊂平面ABCD， ∴DA⊥平面PAB． 又PB⊂平面PAB，∴DA⊥PB． ∵DA∩AM＝A，DA⊂平面ADM，AM⊂平面ADM， ∴PB⊥平面ADM.又DM⊂平面ADM， ∴PB⊥DM. (2)过点P作PO⊥AB于点O，连接OC， ∵平面PAB∩平面ABCD＝AB，PO⊂平面PAB， ∴PO⊥平面ABCD． ∵底面ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°且AB＝2CD＝2AD，O为AB的中点， ∴O