第3板块 大题专攻(二) “立体几何”中的综合问题（课件PPT）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

大题专攻(二)　 “立体几何”中的综合问题 1 1 2 目 录 3 2 01 [例1]　如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2. (1)若M是A1D的中点，求直线CM与平面A1BE所成角的大小； (2)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？请说明理由． 解题微“点” 切入点 (1)求CM与平面A1BE的夹角，若不易找角，想到建立空间直角坐标系，利用CM的方向向量与平面A1BE的法向量求角． (2)探索是否存在点P，可设存在点P的坐标，建立关于点P的方程 续表 若平面A1DP与平面A1BE垂直，则n1·n＝0，∴3a＋12＋3a＝0，即6a＝－12，∴a＝－2. ∵0≤a≤3，∴a＝－2不合题意． ∴线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直． [思维建模] 解决空间角与翻折相结合的问题的关键 (1)盯住量，看翻折前后线面位置关系的变化情况，根据翻折过程，把翻折前后没有变化和发生变化的量准确找出来，因为它们反映了翻折后空间图形的特征； (2)会转化，根据需要解决的立体几何问题，确立转化目标； (3)得结论，对转化后的问题，用定义、判定定理、性质定理、基本事实、公式等解决．　 02 [解]　(1)证明：由题意可知，在下底面圆中，CD为直径． 因为DE＝DF，所以G为弦EF的中点，且EF⊥CD． 因为EF⊥AD，AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD． 因为EF⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面ABCD． [思维建模] 探索性问题的类型及解题策略 (1)类型 一是与空间平行、垂直有关的探索性问题；二是与空间角有关的探索性问题． (2)解题策略 ①一般根据探索性问题的设问，先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾，就否定假设； ②用向量法，先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意，则存在，若有解但不满足题意或无解，则不存在．　　 解：(1)证明：翻折前，在△ABC中，EF⊥AB，翻折后，有EF⊥AF，EF⊥FB′. 又AF∩FB′＝F，AF，FB′⊂平面AFB′，所以EF⊥平面AFB′. 因为AB′⊂平面AFB′，所以EF⊥AB′. 03 [例3]　如图，C是以AB为直径的圆O上异于A， B的点，平面PAC⊥平面ABC，△PAC中，PA＝PC ＝AC＝2，BC＝4，E，F分别是PC，PB的中点． (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线PQ与平面AEF所成角的取值范围． [解]　(1)证明：∵C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，∴BC⊥AC． 又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC， ∴BC⊥平面PAC． (2)由E，F分别是PC，PB的中点，∴BC∥EF. 又EF⊂平面AEF，BC⊄平面AEF，∴BC∥平面AEF. 又BC⊂平面ABC，平面AEF∩平面ABC＝l，∴BC∥l. 以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，   [思维建模] (1)立体几何中的最值或范围问题的一般类型是求角或距离、线段长度等的最值或范围． (2)解决此类问题的方法是把角、距离或线段长度表示为某个量的函数，利用函数的单调性求解．　　 [对点训练] 3.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合． (1)当CF＝1时，求证：EF⊥A1C； (2)设二面角C－AF－E的大小为θ，求cos θ的最大值． 解：(1)证明：过E作EN⊥AC于点N，连接NF，AC1， 由直棱柱的性质可知，底面ABC⊥侧面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC， ∴EN⊥侧面AA1C1C．又A1C⊂侧面AA1C1C， ∴EN⊥A1C． ∵NF为EF在侧面AA1C1C内的射影，在直角三角形CNF中，CN＝1， “专题跟踪检测”见“专题跟踪检测（十二）” 本课结束 　探索性问题 　最值与范围问题 　翻折问题 　翻折问题 隐藏点 (1)图1折叠后，图2中DE⊥CD，DE⊥A1D． (2)设点P的坐标时，注意坐标中参数的范围． (3)直线与平面所成角的范围为 关键点 利用线面垂直关系创造建立空间直角坐标系的背景，准确写出各点的坐标 [解]　(1)由折叠的性质得CD⊥DE，A1D⊥DE. 又CD∩A1D＝D，CD⊂平面A1CD，A1D⊂平面