第2板块 大题专攻(一) 数列求和及其综合应用（课件PPT）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

大题专攻(一) 数列求和及其综合应用 1 1 2 目 录 3 2 01 [例1]　已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4. (1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； (2)求{an}与{bn}的通项公式． [思维建模] 判定或证明等差(等比)数列的方法：定义法，等差(比)中项法，通项公式法，前n项和法，证明数列是等差(比)数列一般使用定义法．　　 [对点训练] 1．已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①a2＝2a1；②数列{ln an}是等差数列；③数列{Sn＋a1}是等比数列． 证明：若选①②⇒③，设{ln an}的公差为d，则d＝ln a2－ln a1＝ln 2，所以ln an－ln an－1＝ln 2， 又S1＋a1＝2a1，所以Sn＋a1＝2a1·2n－1＝a1·2n，所以Sn＝a1·2n－a1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a1·2n－1， n＝1时，a1＝a1适合上式， 故an＝a1·2n－1，ln an＋1－ln an＝ln 2，所以数列{ln an}是等差数列． 设为q(q≠0)，所以an＝a1qn－1， 因为数列{Sn＋a1}是等比数列，则(S2＋a1)2＝(S1＋a1)(S3＋a1)，故[a1(2＋q)]2＝2a1·[a1(2＋q＋q2)]， 整理得q2－2q＝0，解得q＝2或q＝0(舍去)，所以a2＝2a1. 02 [解]　(1)证明：由an＋1＋2an＝2n＋2，得an＋1－2n＋1＝2n＋1－2an＝－2(an－2n)． 又a1－21≠0，所以{an－2n}是以－2为公比，1为首项的等比数列． (2)由(1)，得an－2n＝(－2)n－1，即an＝2n＋(－2)n－1. 当n为奇数时，bn＝an＝2n＋(－2)n－1＝3×2n－1； 当n为偶数时，bn＝log2an＝log2[2n＋(－2)n－1]＝log22n－1＝n－1. [思维建模]　 分组转化法求和的常见类型 [提醒]　某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．　 [对点训练] 2．已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，a3＝5，a8＝15，b1＝a1，b4(a5－a1)＝a1. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{an＋bn}的前n项和Tn. [思维建模]　裂项相消法求和的原则及规律 裂项 原则 一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止 消项 规律 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．即消项具有对称性 证明：(1)依题意，2Sn＝n(a1＋an)(n∈N*)， 当n＝1时，2a1＝2a1； 当n≥2时，由2Sn＝n(a1＋an)得2Sn－1＝ (n－1)(a1＋an－1)， 两式相减并化简得(n－2)an＝(n－1)an－1－a1， 则(n－1)an＋1＝nan－a1，两式相减得(n－1)an＋1－(n－2)an＝nan－(n－1)an－1，即(n－1)an＋1＋(n－1)an－1＝2(n－1)an， 由于n≥2，n－1≠0，所以an＋1＋an－1＝2an(n≥2)，所以数列{an}是等差数列． [解]　(1)当n＝1时，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0. 当n≥2时，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝(n－1)an－1， 两式相减得2an＝nan－(n－1)an－1， 即(n－1)an－1＝(n－2)an， 当n＝2时，可得a1＝0， [思维建模] 错位相减法求和的关键 (1)错位相减后得到的和式中共有n＋1项，把第1项和第n＋1项单独处理； (2)得出结果后，使用S1＝a1进行检验，如果该式不成立，要重新核实运算过程，更正错误．　　 解：(1)由2an－Sn＝1，得Sn＝2an－1， 当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，得a1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)，得an＝2an－1， 所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n－1.所以Sn＝2an－1＝2n－1. 03 解题微“点” 切入点 (1)由2bn＝an＋1，取对数，构造等比数列． (2)用错位相减法求Tn，建立不等关系 障碍点 想不到利用函数思想或作差法解不等式 隐藏点 不要忽略n∈N* [思维建模] 数列与不等式交汇问题的解题要点 以数列为背景的不等式证明问题、恒成立问题，多与数列求和相联系，一般可以先求得数列的通项公式，对数列通项按照先放缩然后求和，或先