设问06 二次函数中几何图形存在性问题-【一战成名新中考】2024陕西中考数学·培优册优质课件PPT

第二部分 常考设问突破篇 设问六 二次函数中几何图形存在性问题（8年6考，近2年未考查） 陕西数学 数学 1 考情说明：近2年未考查， 年在解答题中每年必考，且均在 倒数第2（即第 ）题位考查，类型有面积问题、特殊三角形存在性 问题、相似（全等）三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题. 涉及的主要思想：分类讨论 需具备的能力：根据题意画二次函数草图 2 类型 1 特殊三角形存在性问题 Ⅰ.等腰三角形存在性问题 例1题图 例1 如图，点 坐标为 ，点 坐标为 ，在 轴上取 点 ，使得 是等腰三角形,则点 的坐标为 _ _________________________________________________. 或 或 或 或 3 归纳总结 解法1：代数法求点坐标 设点 的坐标，根据 ， ， 的坐标表示出线段 ， ， 的长， 由 ， ， ,求解出点 坐标. 解法2：数形结合法 （1）“两圆一线”定点的位置：如图①，① 为腰时：分别以 , 为圆 心， 长为半径画圆，与 轴交于点 ，此时点 有4个；② 为底时： 作 的垂直平分线，交 轴于点 ，此时点 有1个. 4 注：若有三点共线的情况，则需排除. 图① 图② 5 （2）计算点的坐标：以 为腰且 为顶点为例，如图②，作 轴 于 ，构造直角三角形，通过勾股定理 求解 出点坐标. 6 Ⅱ.直角三角形存在性问题 例2题图 例2 如图，在平面直角坐标系中，点 坐标为 ，点 坐 标为 ，在 轴上找一点 ，使得 是直角三角形， 则点 的坐标为_ _____________________________. 或 或 或 7 归纳总结 解法1：代数法求点坐标 设点 的坐标，根据 ， ， 的坐标表示出线段 ， ， 的长， 分别列方程 ， ， , 求解出点 坐标. 8 解法2：数形结合法 （1）“两线一圆”定点的位置:如图①，分三种情况.① 为直角，过点 作 的垂线，与 轴的交点即为所求点 ；② 为直角，过点 作 的垂线，与 轴的交点即为所求点 ；③ 为直角，以 为直径作圆， 与 轴的交点即为所求点 （直径所对的圆周角为直角）. 图① 图② （2）构造三垂直计算点的坐标：以 为直角为例，如图②，构造 和 ，通过 ，可得 ，求出点 坐标. 9 综合训练 第1题图 1.[2023宝鸡市陈仓区模拟]如图，已知抛物线 与 轴交于点 ， （ 在 的左侧），与 轴交于点 ，顶点为 . （1）求出该抛物线的表达式； 解：将点 ， 代入抛物线 ，得 解得 该抛物线的表达式为 ； 10 第1题图 （2）若点 是抛物线对称轴上的一点，是否存在点 ，使 得以点 ， ， 为顶点的三角形是以 为腰的等腰三角 形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 【自主作答】 11 第1题图 解：存在.理由如下： ， ， 抛物线的对称轴为直线 ， . 设 ， ， ， ， ， . ①当 时， ， 解得 或 ， 或 ； 12 ②当 时， ，解得 或 ， 或 ； 综上可知，存在，点 的坐标为 或 ， 或 或 . 第1题图 第2题图 2.如图，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交 于点 . （1）求抛物线的表达式； 解：将 ， 代入 ，得 解得 则抛物线的表达式为 ； 14 第2题图 （2）若 为抛物线对称轴上一动点，使得 为直角 三角形，请求出 点的坐标. 15 第2题图 解： 抛物线的对称轴为直线 ，设 ， 由（1）可得 ， ， ， ， ， ， 当 时， 为直角三角形， ，即 ，解得 ，此时点 的坐标为 ； 【自主作答】 16 当 时， 为直角三角形， ，即 ，解得 ，此时 点的坐标为 ； 当 时， 为直角三角形， ，即 ，解得 ， ，此时 点的坐标 为 或 ， 综上所述，满足条件的 点的坐标为 ， ， ， . 第2题图 类型 2 相似三角形存在性问题（含全等、位似） 例3 在平面直角坐标系中，点 ， ，点 在 轴上（不与点 重合），当以 , , 三点为顶点的三角形和 相似时，点 的坐标 为__