第6板块 小题考法(三) 利用导数研究函数的性质（课件PPT）-【创新方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

小题考法(三)　利用导数研究函数的性质 1 1 2 目 录 3 命题点(一)导数的几何意义 命题点(二)利用导数研究函数的单调性 命题点(三)利用导数研究函数的极值、最值 4 课堂训练——精选好题·做一当十 2 (2)(2022·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是___________________________________________. [答案]　(1)C　(2)(－∞，－4)∪(0，＋∞) 提分技巧 (1)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标． (2)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同． [过关训练] 1．函数f(x)＝x3－x2＋2x－1的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为 (　 ) A．－1 B．1 C．2 D．－2 答案：D　 解析：f′(x)＝3x2－2x＋2，故f′(1)＝3，又f(1)＝1，所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝3(x－1)＋1＝3x－2.令x＝0，则y＝－2，故切线的纵截距为－2.故选D. 2．曲线y＝ex－ax在x＝0处的切线与曲线y＝－x2只有一个交点，则a＝_________. 答案：－1或3 解析：对于函数y＝ex－ax，当x＝0时，y＝1.又y′＝ex－a，所以y′|x＝0＝e0－a＝1－a. 所以切线方程为y＝(1－a)x＋1. 又y＝(1－a)x＋1与曲线y＝－x2只有一个交点， 所以关于x的方程x2＋(1－a)x＋1＝0有两个相等的实数根，即Δ＝(1－a)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3. [讲评提能] [例2]　(1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1,2)单调递增，则a的最小值为 (　 ) A．e2 B．e C．e－1 D．e－2 (2)(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　 ) A．a＞0＞b B．a＞b＞0 C．b＞a＞0 D．b＞0＞a [答案]　(1)C　(2)A (2)∵9m＝10，∴m∈(1,2)．令f(x)＝xm－(x＋1)，x∈(1，＋∞)，∴f′(x)＝mxm－1－1.∵x>1且1<m<2，∴xm－1>1，∴f′(x)>0，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．又9m＝10，∴9m－10＝0，即f(9)＝0，又a＝f(10)，b＝f(8)，∴f(8)<f(9)<f(10)，即b<0<a. 提分技巧 1．利用函数的单调性求参数的取值范围的思路 (1)由函数在区间[a，b]上单调递增(或递减)可知f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立； (2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题； (3)对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整个区间恒等于0，若f′(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别处有f′(x)＝0，则参数可取这个值． 2．利用导数解不等式或比较大小的思路 利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，再由单调性比较大小或解不等式问题． [过关训练] 3．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，f′(x)为其导函数，若xf′(x)＋f(x)＝ex(x－2)且f(3)＝0，则不等式f(x)<0的解集为 (　 ) A．(0,2) B．(0,3) C．(2,3) D．(3，＋∞) 答案：B　 解析：令φ(x)＝xf(x)，则φ′(x)＝xf′(x)＋f(x)＝ex(x－2)，可知当x∈(0,2)时，φ(x)是减函数，且0·f′(0)＋f(0)＝e0(0－2)＝－2<0，即f(0)<0；当x∈(2，＋∞)时，φ(x)是增函数，又f(3)＝0，则φ(3)＝3f(3)＝0.∵不等式f(x)<0的解集就是xf(x)<0的解集，∴不等式的解集为(0,3)． 4．若函数f(x)＝(x＋a)ex在区间(0，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围是 (　 ) A．(－∞，－1) B．(－∞，0) C．(－1,0) D．[－1，＋∞) 答案：A　 解析： f′(x)＝ex(x＋a＋1)，由题意，知方程ex(x＋a＋1)＝0在(0，＋∞)上至少有一个实数根，即x＝－a－1>0，解得a<－1. 答案：A　 (2)(2023·全国乙卷)函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是 (　 ) A．(－∞，－2) B．(－∞，－3) C．(－4，－1) D．(－3,0) [答案]　(1)B　(2)B 提分技巧 利用