第6板块 大题专攻(四) “函数与导数”压轴大题的思维建模（课件PPT）-【创新方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(四)　“函数与导数”压轴大题的思维建模 1 一宏观掌握解题通路:函数与导数问题重在“分”——分离、分解 函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论，不等式的证明等， 是近几年高考试题的命题热点．对于这类综合问题，一般是先求导，再变形、分离或分解出基本函数，最后根据题意处理． 解：(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)， 当x∈(0，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)>0； 当x∈(x1，x2)时，f′(x)<0. 综上，当a≤2时，f(x)在(0，＋∞)单调递增； 当a＞2时，f(x)在(0，x1)和(x2，＋∞)单调递增， 在(x1，x2)单调递减， 所以存在a∈(1,2)，使得G(a)＝0. 二微观优化解题细节:有关x与ex，ln x的组合函数的解题技法 有关x与ex，ln x的组合函数是高考的常考内容，常将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值)等．熟悉与x，ex，ln x有关的函数图象特征，在解答相关问题时做到“有形可寻”，对解题大有帮助. 有关x与ex组合的常见函数的大致图象 有关x与ln x组合的常见函数的大致图象 有关x与ex，ln x组合的函数的大致图象 续表 [例1]　已知函数f(x)＝ex－ax2，若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1. 所以g(x)≤g(0)＝1， 又因为ex>0，所以x2＋1≤ex， 故原不等式得证． 反思领悟 令g′(x)<0，得x>1. 所以g(x)在(0,1)上单调递增， 在(1，＋∞)上单调递减， (2)证明：当a＝e时，f(x)＝ex2－xln x. 令φ(x)＝ex－ex(x>0)， 则φ′(x)＝e－ex(x>0)． 由φ′(x)>0，得0<x<1；由φ′(x)<0，得x>1. 所以φ(x)在(0,1)上单调递增， 在(1，＋∞)上单调递减， 则φ(x)在x＝1时取得最大值， 最大值为φ(1)＝0， 从而φ(x)≤0，即ex－ex≤0. 因为h(x)和φ(x)不同时为0， 反思领悟 技法三　借助ln x≤x－1或ex≥x＋1进行放缩 [例3]　已知函数f(x)＝xex－aln x(e为自然对数的底数，e＝2.718…)． (1)若f(x)在(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围； (2)当a＝－1时，设g(x)＝x[f(x)－xex]－x3＋x2－b，若函数g(x)存在零点，求实数b的最大值． 由题意知，f′(x)≤0在x∈(0,1)上恒成立， 即(x2＋x)ex－a≤0在x∈(0,1)上恒成立， 也就是a≥(x2＋x)ex在(0,1)上恒成立． 设h(x)＝(x2＋x)ex，x∈(0,1)， 则h′(x)＝ex(x2＋3x＋1)， 当x∈(0,1)时，x2＋3x＋1>0，则h′(x)>0， 所以h(x)在(0,1)上单调递增， 所以h(x)<h(1)＝2e，因此a≥2e， 所以实数a的取值范围是[2e，＋∞)． (2)当a＝－1时，f(x)＝xex＋ln x， 则g(x)＝xln x－x3＋x2－b. 由题意知，问题等价于方程b＝xln x－x3＋x2在(0，＋∞)上有解． 法一：设k(x)＝xln x－x3＋x2(x>0)， 则k′(x)＝ln x＋1－3x2＋2x. 设m(x)＝ln x＋1－3x2＋2x(x>0)， 所以当x∈(0，x0)时，m(x)<0，即k′(x)<0，k(x)单调递减； 当x∈(x0,1)时，m(x)>0，即k′(x)>0，k(x)单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，m(x)<0，即k′(x)<0，k(x)单调递减． 由于x→0时，k(x)→0且k(x)<0， 所以k(x)max＝k(1)＝0， 所以实数b的最大值为0. 法二：设k(x)＝xln x－x3＋x2， 下面证ln x≤x－1(x>0)． 事实上，设φ(x)＝ln x－x＋1(x>0)， 当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减． 所以φ(x)max＝φ(1)＝0，即φ(x)≤0， 也就是ln x≤x－1. 由此可知k(x)＝xln x－x3＋x2≤x(x－1)－x3＋x2＝－x(x2－2x＋1)≤0， 又当x＝1时，k(x)max＝k(1)＝0， 所以实数b的最大值为0. 反思领悟 本题第(2)问的求解中，法二借助不等式ln x≤x－1(x>0)进行放缩，使求解过程变得简洁，这种方法在求解涉及ln x的函数问题中经常用到，应注意掌握． “函数与