第3板块 大题专攻(二) “立体几何”大题的思维建模（课件PPT）-【创新方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(二)　“立体几何”大题的思维建模 1 一宏观掌握解题通路：立体几何问题重在“转”——转化、转换 　　立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深，解决这类题目的原则是转化、转换． 　　转化——空间平行关系间的转化、垂直关系间的转化、平行与垂直关系间的转化以及平面几何与立体几何的转化等． 转换——对几何体的体积、锥体体积顶点的转换，多面体体积多分割转换为几个规则几何体的体积和或体积差来求解，求体积时距离与体积计算的转换等. [解题示范] [典例]　(2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点． (1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F-ABC的体积． [关键点拨] 解答立体几何问题，应具备以下4点思维 (1)由于空间图形问题往往可转化为平面图形问题加以解决，因此要注意平面几何知识在解题中的灵活运用．例如，证线线平行可以利用三角形、梯形的中位线性质定理，还可以利用比例关系；证线线垂直可以利用菱形、正方形的对角线互相垂直，还可以利用勾股定理的逆定理． (2)立体几何中证明有关平行或垂直问题时，由于大多数问题主要考查的是有关判定定理在证题中的灵活运用，所以我们要优先考虑对应的判定定理去寻找证题思路． (3)立体几何中证明有关平行或垂直问题时，若对应的判定定理不便于运用，则应该及时考虑其他的证题思路．例如，要证明线面平行，可以先证面面平行，再利用面面平行的性质；要证明线面垂直，可以先证面面垂直，再利用面面垂直的性质． (4)分析、解决有关立体几何问题时，往往需要考虑数形结合思想、分类与整合思想、转化思想等在解题中的灵活运用． 解：(1)证明：如图，连接B1C交BC1于O， 连接OM， 根据正三棱柱的性质得O为B1C的中点， ∵M是棱AC的中点， ∴OM∥AB1， 又OM⊂平面BC1M，AB1⊄平面BC1M， ∴AB1∥平面BC1M. (2)∵在正三棱柱中，AA1⊥平面ABC， BM⊂平面ABC， ∴AA1⊥BM， 又∵在正三角形ABC中，M是AC的中点， ∴AC⊥BM， ∵AA1∩AC＝A，AA1⊂平面AA1C1C， AC⊂平面AA1C1C， ∴BM⊥平面AA1C1C. 设点A1到平面BC1M的距离为h， 二微观优化解题细节：提升四大能力，突破立体几何中的解题障碍点 能力一　提高识图、作图能力 识图、作图能力是学好立体几何应具备的重要能力之一，学生的识图、作图能力弱主要集中在作图问题、球问题的直观呈现和转化、展折问题的图形分析等．要提高识图、作图能力，需要理解作图的原理，在此基础上，培养模型意识和动手能力． [反思领悟]　本题往往会因为对直径认识不足(球心O为SC的中点)，而纠结如何作图(球内接三棱锥S-ABC)，不懂得对问题进行转化(VS-ABC＝2VO-ABC)，只有正确理解才能把问题转化为三棱锥O-ABC，再结合球的定义即可解决． [反思领悟]　解答本题的最大障碍是不会过顶点A作出平面α，解决的方法是通过“补体”快速实现把平面CB1D1“外移”，观察和作出平行线是本题作图的关键，常用的方法有利用中位线或平行四边形的性质等，尤其要注意长方体中的一些常见的平行关系(如本题D2B2∥CB1，AD2∥D1B1，AB2∥CD1)和垂直关系，以增加作图的方向感． 能力二　厘清相关概念 数学概念是思考问题、解决问题的出发点，很多同学由于概念意识不强，无法快速地把概念文本转化为相应的空间几何体，解决求两异面直线所成的角的问题，关键在于根据两异面直线所成角的概念作出这个角，掌握异面直线所成角的范围，厘清三角形的内角和异面直线所成的角． 能力三　规范推理步骤 在证明线、面的平行或垂直关系时，由于定理条件掌握不全，推理的逻辑欠规范，常造成“会而不全”，导致失分．如，学生在使用直线与平面平行的判定定理时，常常遗忘“已知直线一定要在该平面外”这个关键的条件；在使用直线与平面垂直的判定定理时，常常遗忘“线不在多，重在相交”这个关键的条件．符号书写也不规范，如，直线与平面是包含与不包含的关系，却常误写成属于与不属于的关系等． ∴EM∥DO， ∵EM⊄平面ABCD，DO⊂平面ABCD， ∴EM∥平面ABCD. (2)∵ED∥FC，ED⊥平面ABCD， ∴CF⊥平面ABCD. 又∵DO⊂平面ABCD，∴CF⊥DO， ∵AC⊥DO，CF⊂平面FAC，AC⊂平面FAC，CF∩AC＝C， ∴DO⊥平面FAC. 由(1)知EM∥DO，∴EM⊥平面FAC， 又∵EM⊂平面AEF， ∴平面AEF⊥平面FAC. (2)要证面面垂直，关键在于找出一组“线面垂直