第6板块 小题考法(三) 利用导数研究函数的性质（课件PPT）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

小题考法(三)　利用导数研究函数的性质 1 1 2 目 录 3 命题点(一)导数的几何意义 命题点(二)利用导数研究函数的单调性 命题点(三)利用导数研究函数的极值、最值 4 课堂训练——精选好题·做一当十 2 答案：C　 2．函数f(x)＝x3－x2＋2x－1的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为 (　 ) A．－1 B．1 C．2 D．－2 答案：D　 解析：f′(x)＝3x2－2x＋2，故f′(1)＝3，又f(1)＝1，所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝3(x－1)＋1＝3x－2.令x＝0，则y＝－2，故切线的纵截距为－2.故选D. 3．已知函数f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝ln x－e1－x，则曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为 (　 ) A．y－e2＋1＝0 B．y＋1＝0 C．(e2－1)x－y＋e2－2＝0 D．2x＋y＋3＝0 答案：D　 4．(2022·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_________________________________________ __________________________________________________________． 答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞) [提分技巧] (1)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标． (2)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同． [讲评提能] 角度1　利用函数的单调性求参数 [例1]　(2023·全国乙卷)设a∈(0,1)，若函数f(x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________． [解题微“点”] 切入点 由f(x)是定义在R上的奇函数，得g(x)为奇函数，又当x>0时，xf′(x)>2f(－x)＝－2f(x)，得g(x)为R上的增函数，再由g(log3(x2－1))＋g(－1)<0得g(log3(x2－1))<g(1)，利用单调性可得答案 隐藏点 解题时注意利用函数的奇偶性进行转化，然后利用单调性脱去“f”号后解不等式 [答案]　D [解析]　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以当x∈R时，有g(－x)＝x2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)． 所以g(x)为奇函数，且对于任意正实数x，有xf′(x)>2f(－x)＝－2f(x)，即xf′(x)＋2f(x)>0， 所以x>0时，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]>0. 所以x>0时，g(x)＝x2f(x)是增函数．又因为g(x)为奇函数，所以g(x)为R上的增函数． 由g(log3(x2－1))＋g(－1)<0得g(log3(x2－1))<－g(－1)＝g(1)， 所以log3(x2－1)<1，即0<x2－1<3，解得－2<x<－1或1<x<2. [提分技巧] 利用函数的单调性求参数的取值范围的思路 (1)由函数在区间[a，b]上单调递增(或递减)可知f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立； (2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题； (3)对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整个区间恒等于0，若f′(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别处有f′(x)＝0，则参数可取这个值． [过关训练] 1．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，f′(x)为其导函数，若xf′(x)＋f(x)＝ex(x－2)且f(3)＝0，则不等式f(x)<0的解集为(　 ) A．(0,2) B．(0,3) C．(2,3) D．(3，＋∞) 答案：B　 解析：令φ(x)＝xf(x)，则φ′(x)＝xf′(x)＋f(x)＝ex(x－2)，可知当x∈(0,2)时，φ(x)是减函数，且0·f′(0)＋f(0)＝e0(0－2)＝－2<0，即f(0)<0；当x∈(2，＋∞)时，φ(x)是增函数，又f(3)＝0，则φ(3)＝3f(3)＝0.∵不等式f(x)<0的解集就是xf(x)<0的解集，∴不等式的解集为(0,3)． 2．若函数f(x)＝(x＋a)ex在区间(0，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围是 (　 ) A．(－∞，－1) B．(－∞，0) C．(－1,0) D．[－1，＋∞) 答案：A　 解析： f′(x)＝ex(x＋a＋1)，由题意，知方程ex(x＋a＋1)＝0在(0，＋∞)上至少有一个实数根，即x＝－a－1>0，解得a<－1. 又g(1)＝1－ln 1－1＝0，故g(x)<0(x≥e)