第6板块 大题专攻(一) 利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题（课件PPT）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(一)　利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题 1 1 2 目 录 题型(一)利用导数研究函数的单调性 题型(二)利用导数研究函数的极值、最值 2 角度1　讨论函数的单调性(或区间) [例1]　(2022·北京高考，节选)已知函数f(x)＝exln(1＋x)． (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)设g(x)＝f′(x)，讨论函数g(x)在[0，＋∞)上的单调性． 故h(x)在[0，＋∞)上单调递增， 故h(x)≥h(0)＝1>0， 因此g′(x)>0对任意的x∈[0，＋∞)恒成立， 故g(x)在[0，＋∞)上单调递增． 故g′(x)>0对任意的x∈[0，＋∞)恒成立， 故g(x)在[0，＋∞)上单调递增． [提分技巧] 利用导数求函数的单调区间的三种方法 (1)当不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0可解时，确定函数的定义域，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间． (2)当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间． (3)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0及方程f′(x)＝0均不可解时，求导数并化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应的基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间． 所以f′(1)＝－ln 2. 又f(1)＝0，所以点(1，f(1))处的切线方程为y－0＝－(x－1)ln 2，即xln 2＋y－ln 2＝0. 设g(x)＝ax2＋x－(1＋x)ln(1＋x)， 则g′(x)＝2ax＋1－ln(1＋x)－1＝2ax－ln(1＋x)． 若a≤0，则g′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，于是在(0，＋∞)上g(x)<g(0)＝0，不满足题意． [提分技巧] (1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围． (2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解． 对点训练 1．已知函数f(x)＝x2－aln x. (1)若函数f(x)在点(3，f(3))处切线的斜率为4，求实数a的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． ①当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间． 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下： 因为函数g(x)在[1,4]上是减函数， 所以g′(x)≤0在[1,4]上恒成立， 所以有ax2＋2x－1≥0在[1,4]上恒成立． (2)由(1)可知f′(x)＝3x2－3a. ①当a≤0时，f′(x)≥0在[0,2]上恒成立，即f(x)在区间[0,2]上单调递增，所以f(x)的最大值为f(2)＝8－6a. [提分技巧] 1．利用导数研究函数的极值、最值应注意的问题 (1)不能忽略函数f(x)的定义域． (2)f′(x0)＝0是可导函数在x＝x0处取得极值的必要不充分条件． (3)函数的极小值不一定比极大值小． (4)函数在区间(a，b)上有唯一极值点，则这个极值点也是最大(小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到． 2．掌握已知函数极值点或极值求参数的2个要领 列式 根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解 验证 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 2．已知函数f(x)＝ln x＋ax2－(2a＋1)x(其中常数a≠0)． (1)当a＝1时，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在x＝1处取得极值，且在(0，e]上的最大值为1，求实数a的值． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝ln x＋x2－3x，x＞0， 对点训练 所以最大值1可能在x＝1或x＝e处取得， 而f(1)＝ln 1＋a－(2a＋1)＜0， 所以f(e)＝ln e＋ae2－(2a＋1)e＝1， “专题跟踪检测（二十一） 利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题” BUSINESS POWERPOINT 本课结束 　利用导数研究函数的单调性 因此，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x. [解]　(1)由题意，得f′(x)＝ex·ln(1＋x)＋ex·＝ex， 故f′(0)＝e0·＝1， f(0)＝e0ln(1＋0)＝0， 则h′(x)＝－＋＝>0，