第6板块 大题专攻(五) “函数与导数”压轴大题的思维建模（课件PPT）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(五)　“函数与导数”压轴大题的思维建模 1 一宏观掌握解题通路:函数与导数问题重在“分”——分离、分解 函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论，不等式的证明等，是近几年高考试题的命题热点．对于这类综合问题，一般是先求导，再变形、分离或分解出基本函数，最后根据题意处理． [解题示范] [典例]　(2023·新课标Ⅱ卷)(1)证明：当0＜x＜1时，x－x2＜sin x＜x； (2)已知函数f(x)＝cos ax－ln(1－x2)，若x＝0是f(x)的极大值点，求a的取值范围． [应用体验] 设函数f(x)＝ex－ax，x≥0且a∈R. (1)求函数f(x)的单调性； (2)若f(x)≥x2＋1恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)f′(x)＝ex－a，x≥0. 当a≤1时，f′(x)≥0恒成立，则f(x)在[0，＋∞)上单调递增； 当a>1时，x∈[0，ln a]时，f′(x)≤0，则f(x)在[0，ln a]上单调递减； x∈[ln a，＋∞)时，f′(x)≥0，则f(x)在[ln a，＋∞)上单调递增． 综上，当a≤1时，f(x)在[0，＋∞)上单调递增；当a>1时，f(x)在[0，ln a]上单调递减，在[ln a，＋∞)上单调递增． (2)当x≥0时，ex－ax≥x2＋1恒成立，则 当x＝0时，1≥1，显然成立，符合题意； 构造函数y＝ex－x－1，x>0，则y′＝ex－1>0， 故y＝ex－x－1为增函数， 则ex－x－1>e0－0－1＝0. 故ex－x－1>0对任意x>0恒成立，则g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝e－2. 所以a≤e－2，即实数a的取值范围是(－∞，e－2]． 二微观优化解题细节：有关x与ex，ln x的组合函数的解题技法 有关x与ex，ln x的组合函数是高考的常考内容，常将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值)等．熟悉与x，ex，ln x有关的函数图象特征，在解答相关问题时做到“有形可寻”，对解题大有帮助. 有关x与ex组合的常见函数的大致图象 有关x与ln x组合的常见函数的大致图象 有关x与ex，ln x组合的函数的大致图象 续表 [例1]　已知函数f(x)＝ex－ax2，若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1. [解题观摩]　法一：对数独行侠 当a＝1时，f(x)＝ex－x2， 令ex＝t(t≥1)， 令φ(x)＝ex－ex(x>0)， 则φ′(x)＝e－ex(x>0)． 由φ′(x)>0，得0<x<1；由φ′(x)<0，得x>1. 所以φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 则φ(x)在x＝1时取得最大值，最大值为φ(1)＝0， 从而φ(x)≤0，即ex－ex≤0. 技法三　借助ln x≤x－1或ex≥x＋1进行放缩 [例3]　已知函数f(x)＝xex－aln x(e为自然对数的底数，e＝2.718…)． (1)若f(x)在(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围； (2)当a＝－1时，设g(x)＝x[f(x)－xex]－x3＋x2－b，若函数g(x)存在零点，求实数b的最大值． 当x∈(0,1)时，x2＋3x＋1>0，则h′(x)>0， 所以h(x)在(0,1)上单调递增， 所以h(x)<h(1)＝2e，因此a≥2e， 所以实数a的取值范围是[2e，＋∞)． 当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减． 所以φ(x)max＝φ(1)＝0，即φ(x)≤0， 也就是ln x≤x－1. 由此可知k(x)＝xln x－x3＋x2≤x(x－1)－x3＋x2＝－x(x2－2x＋1)≤0， 又当x＝1时，k(x)max＝k(1)＝0， 所以实数b的最大值为0. [反思领悟] 本题第(2)问的求解中，法二借助不等式ln x≤x－1(x>0)进行放缩，使求解过程变得简洁，这种方法在求解涉及ln x的函数问题中经常用到，应注意掌握． “函数与导数”大题规范增分练 BUSINESS POWERPOINT 本课结束 当x>0时，得a≤恒成立， 即a≤min，记g(x)＝，x>0， 则g′(x)＝， 技法一　对数独行侠，指数找朋友 设f(x)为可导函数，则有[ex－f(x)]′＝ex－f′(x)．若f(x)为非常数函数，求导式子中还是含有ex，针对此类型，可以采用作商的方法，构造′＝，从而达到