第6板块 大题专攻(四) 解决极值点偏移问题的四大技法（课件PPT）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(四) 解决极值点偏移问题的四大技法 1 极值点偏移问题是近几年高考命题的热点，这类试题可以很好地考查考生的推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，涉及函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，着力考查逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养． 三、极值点偏移问题的四种基本题设形式 (1)若函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，求证：x1＋x2＞2x0(x0为函数f(x)的极值点)． (2)对于函数f(x)，存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2＞2x0(x0为函数f(x)的极值点)． 技法一　构造对称和(或差) 对称变化主要用来解决与两个极值点之和或差相关的不等式的证明问题． 因为x2－2＞0，所以4－x2＜2，因此f(x1)＝f(x2)＝f[2＋(x2－2)]＞f[2－(x2－2)]＝f(4－x2)，因为f(x)在(1,2)上单调递增，所以x1＞4－x2，所以x1＋x2＞4. [提分技巧] 构造对称和(或差)的步骤 (1)定极值点：即利用导函数求出函数的极值点x0. (2)对称构造：即根据极值点x0构造对称函数F(x)＝f(x0＋x)－f(x0－x)或F(x)＝f(x)－f(2x0－x)． (3)比较大小：即利用导数讨论函数F(x)的单调性，判断其符号，进而得到f(x0＋x)与f(x0－x)或者f(x)与f(2x0－x)的大小关系． (4)转化所证：即根据函数f(x)的单调性，将f(x0＋x)与f(x0－x)或者f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为两个极值点之间的大小关系，进而得到所证或所求． 对点训练 单调递增，所以当x＞0时，F(x)＞F(0)＝0，即f(1＋x)＞f(1－x)．因为x2－1＞0，所以2－x2＜1，因此f(x1)＝f(x2)＝f[1＋(x2－1)]＞f[1－(x2－1)]＝f(2－x2)，因为f(x)在(0,1)上单调递增，所以x1＞2－x2，所以x1＋x2＞2，即x1＋x2>4a. 技法二　比值代换法 比值代换法不需要讨论所给函数的单调性，也不需要求出参数的取值范围，而是直接根据题意列出方程，然后结合分析法消去参数，得出只含有x1和x2的等式或者不等式，最后通过比值代换，构造新函数证明不等式． 所以g(t)在(1，＋∞)上单调递增， 于是t＞1时，g(t)＞g(1)＝0， 又ln t＞0，所以x1＋x2＞2. [提分技巧] 比值代换法的基本解题步骤 (1)建等式：即利用极值点所满足的条件建立两个关于极值点x1，x2的方程； (2)设比：即根据两个数值之间的大小关系，选取两数之商作为变量，建立两个极值点之间的关系； (3)定关系：即用一个极值点与比值表示另一个极值点，代入方程整理，通过两个方程商构造极值点与比值之间的关系，进而通过解方程用比值表示两个极值点； (4)构函数：即将关于极值点的目标代数式用比值表示出来，构造相应的函数； (5)解问题：即利用导数研究所构造的函数的单调性、极值、最值等，解决相应的问题． 对点训练 技法三　消参减元 消参减元的主要目的就是减元，进而建立与所求解问题相关的函数．主要是利用函数极值点乘积所满足的条件进行消参减元．其解题要点如下： 建方程 求函数的导函数，令f′(x)＝0，建立极值点所满足的方程，抓住导函数中的关键式子，即导函数解析式中变号的部分(一般为一个二次整式) 定关系 根据极值点所满足的方程，利用方程解的理论，建立极值点与方程系数之间的关系，确定两个极值点之积 消参减元 根据两个极值点之积的关系，化简或转化所求解问题，进行消参减元 构造函数 根据消参减元后的式子结构特征，构建相应的函数 求解问题 利用导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等，从而解决相关问题 续表 令f′(x)＞0，得0＜x＜1. 所以函数f(x)＝ln x－x的单调递减区间是(1，＋∞)，单调递增区间是(0,1)，所以f(x)极大值＝f(1)＝ln 1－1＝－1. 对点训练 (2)证明：当t＝2时，由f(x)＝m－ax， 得ln x＋(a－2)x＋2－m＝0. 令g(x)＝ln x＋(a－2)x＋2，则g(x1)＝g(x2)＝m. 即ln x1＋(a－2)x1＝ln x2＋(a－2)x2， [解]　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， ①若a≤2，则f′(x)≤0， 当且仅当a＝2，x＝1时，f′(x)＝0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减． ②若a>2，令f′(x)＝0， (2)证明：由(1)知，当且仅当a>2时，f(x)存在两个极值点． 由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0， 所以x1x2＝1，不妨设x1<x2，则x2>1. 所以f(t)在(1，＋∞)上单调递减，而f(1)＝0