第6板块 大题专攻(二) 利用导数研究不等式问题（课件PPT）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(二)　利用导数研究不等式问题 1 1 2 目 录 3 题型(一)不等式的证明 题型(二)不等式恒成立问题 题型(三)等价转化法解决不等式能成立问题 2 [解]　(1)f′(x)＝aex－1，当a≤0时，f′(x)＜0， 所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减； 当a>0时，令f′(x)>0，得x＞－ln a，令f′(x)＜0，得x＜－ln a， 所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减， 在(－ln a，＋∞)上单调递增． 综上可得，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减； 当a＞0时，函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增． (2)证明：由(1)得当a＞0时，函数f(x)＝a(ex＋a)－x的最小值为f(－ln a)＝a(e－ln a＋a)＋ln a＝1＋a2＋ln a. [提分技巧] 构造函数法证明不等式 (1)移项，使等式右边为零，左边构造为新函数． (2)求导判断单调性，通常要对参数分类讨论． (3)根据单调性，求出最值与“0”比较即可得证． 对点训练 [解]　(1)当a＝8时， 令h(t)＝－3t2＋2t＋8＝－(3t＋4)(t－2)， 当t∈(1,2)时，h(t)>0； 当t∈(2，＋∞)时，h(t)<0. 令u＝cos2x，则u∈(0,1)， ∵k(1)＝3，∴当u∈(0,1)时，k(u)>3， ∴k(u)的值域为(3，＋∞)． ∴g(x0)>g(0)＝0，∴f(x)<sin 2x不成立． 综上所述，a的取值范围为(－∞，3]． [提分技巧]　不等式恒成立问题的解题关键点 对点训练 [解]　(1)函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)， ∴f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－(e－ae＋b)＝－a(x－e)，即y＝－ax＋e＋b. 又函数f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y＝－ax＋2e，∴b＝e. ∴h′(x)＜0，h(x)在区间[e，e2]上单调递减． [提分技巧] 根据不等式能成立求参数的步骤 (1)利用题设条件将问题转化为某函数在该区间上最大(小)值满足的不等式的能成立问题； (2)用导数求该函数在区间上的最值； (3)构建不等式求解． 对点训练 3．已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax－1. (1)当a>0时，证明函数f(x)在区间(0, ＋∞)上只有一个零点； (2)若存在x∈R，使不等式f(x)<－e－1成立，求a的取值范围． 解：(1)证明：当a>0时，f′(x)＝xex－a，x∈(0, ＋∞)， 令g(x)＝ f′(x)，则g′(x)＝(x＋1)ex>0， ∴f′(x)＝xex－a在(0，＋∞)上为增函数． ∵f′(0)＝－a<0, f′(a)＝aea－a>0， ∴∃x0∈(0，a)，使f′(x0)＝x0ex0－a＝0. ∴当x∈(0, x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0, ＋∞)时，f′(x)>0. 因此，f(x)在(0, x0)上为减函数，f(x)在(x0, ＋∞)上为增函数， 故函数f(x)在(0, ＋∞)上只有一个零点． (2)当a>0时，f′(x)＝xex－a，由(1)可知，f′(x0)＝0，即a＝x0ex0，∴当x<x0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞， x0)上为减函数，当x>x0时，f′(x)>0，f(x)在(x0, ＋∞)上为增函数， 设h(x)＝(－x2＋x－1)ex－1(x>0)， 则h′(x)＝(－x2－x)ex<0(x>0)， ∴h(x)在(0，＋∞)上为减函数．又h(1)＝－e－1， ∴当0<x0<1时，f(x0)>－e－1，当x0>1时， f(x0)<－e－1. 当a＝0时，由(1)知，f(x)在(－∞，0)上为减函数，f(x)在(0，＋∞)上为增函数， ∴f(x)≥f(0)＝－2>－e－1.∴不存在x∈R，使不等式f(x)<－e－1成立； ∴存在x∈R，使不等式 f(x)<－e－1成立． 综上所述，a的取值范围是{a|a<0或a>e}． “专题跟踪检测（二十二） 利用导数研究不等式问题” BUSINESS POWERPOINT 本课结束 　不等式的证明 [例1]　(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当a＞0时，f(x)＞2ln a＋. 令g(a)＝1＋a2＋ln a－2ln a－＝a2－ln a－，a∈(0，＋∞)， 所以g′(a)＝2a－.令g′(a)＞0，得a＞； 令g′(a)＜0，得0＜a＜. 所以函数g(a)在上单调递减，在上单调递增． 所以函数g(a)的最小值为g＝2－ln －＝ln ＞0， 所以当a＞0时，f(x)＞2ln a＋成立． 1．已知函数f(x)＝ln x＋