第3板块 大题专攻(一) “立体几何”大题的考法研究（课件PPT）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(一)　“立体几何”大题的考法研究 1 1 2 目 录 3 题型(一)直线与平面所成的角 题型(二)二面角 题型(三)翻折问题 4 题型(四)探索性问题 2 [例1]　(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1. (1)证明：A1C＝AC； (2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值． [解]　(1)证明：如图，过A1作A1D⊥CC1，垂足为D， ∵A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1C⊥BC. 又∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC. ∵A1C，AC⊂平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C， ∴BC⊥平面ACC1A1. ∵A1D⊂平面ACC1A1，∴BC⊥A1D. 又CC1，BC⊂平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C， ∴A1D⊥平面BCC1B1. ∴A1D＝1. 由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1，∴D为CC1的中点．又A1D⊥CC1， ∴A1C＝A1C1. 又在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝A1C1， ∴A1C＝AC. (2)如图，连接A1B，由(1)易证A1B＝A1B1，故取BB1的中点F，连接A1F， ∵AA1与BB1的距离为2， ∴A1F＝2， 又A1D＝1且A1C＝AC， 取x＝1，则y＝0，z＝1， ∴平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1,0,1)． 设AB1与平面BCC1B1所成角为θ， [提分技巧]　利用空间向量求线面角的解题模型 对点训练 所以四边形MHPE为平行四边形． 所以ME∥PH.又PH∥CD，所以ME∥CD. 因为CD⊂平面DCC1D1，ME⊄平面DCC1D1， 所以ME∥平面DCC1D1. (2)因为四边形A1ADD1为矩形，所以DD1⊥AD. 因为平面A1ADD1⊥平面ABCD，且平面A1ADD1∩平面ABCD＝AD， 所以D1D⊥平面ABCD，故D1D⊥CD. 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AB＝1，则A(1,0,0)， B(1,1,0)，C(0,2,0)， 又E是AP的中点，所以EF∥PC，同理可得OD∥PC，所以EF∥OD， 又OD⊂平面ADO，EF⊄平面ADO，所以EF∥平面ADO. 所以AD2＝AO2＋OD2，所以AO⊥OD. 由于EF∥OD，所以AO⊥EF， 又BF⊥AO，BF∩EF＝F，BF⊂平面BEF，EF⊂平面BEF， 所以AO⊥平面BEF. 又AO⊂平面ADO，所以平面ADO⊥平面BEF. [提分技巧]　利用空间向量求二面角的解题模型 对点训练 解：(1)证明：因为侧面AA1B1B为正方形，所以A1B1⊥BB1.又BF⊥A1B1，而BF∩BB1＝B，BF⊂平面BB1C1C，BB1⊂平面BB1C1C，所以A1B1⊥平面BB1C1C.又ABC -A1B1C1是直三棱柱，BC＝AB， 所以四边形BB1C1C为正方形． 取BC的中点为G，连接B1G，EG. 因为F为CC1的中点，所以BF⊥B1G. 又BF⊥A1B1，且EG∥A1B1，所以BF⊥EG. 又B1G∩EG＝G，B1G⊂平面EGB1D，EG⊂平面EGB1D，所以BF⊥平面EGB1D. 又DE⊂平面EGB1D，所以BF⊥DE. (2)因为侧面AA1B1B是正方形， 所以AB∥A1B1，由(1)知，A1B1⊥平面BB1C1C， 所以AB⊥平面BB1C1C. 又BC ⊂平面BB1C1C，所以AB⊥BC. 易知，平面BB1C1C的法向量可为n1＝(1,0，0)．设平面DFE的法向量n2＝(x1，y1，z1)． [例3]　如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2. (1)若M是A1D的中点，求直线CM与平面A1BE所成角的大小； (2)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？请说明理由． [解题微“点”] [解]　(1)由折叠的性质得CD⊥DE，A1D⊥DE， 又CD∩A1D＝D，CD⊂平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，∴DE⊥平面A1CD. 又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE. 又A1C⊥CD，CD∩DE＝D，DE⊂平面BCDE，CD⊂平面BCDE，∴A1C⊥平面BCDE. 又AC＝6，∴AD＝4，CD＝2， (2)假设线段BC上存在点P满足条件，设P点坐标为(0，a,0)，a∈[0,3]， ∴3a＋12＋3a＝0，即6a＝－12，∴a＝－2. ∵0≤a≤3，∴a＝－2舍去． ∴线段BC上不存在点P，使平面A1DP