第3板块 大题专攻(二) “立体几何”大题的思维建模（课件PPT）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(二)　“立体几何”大题的思维建模 1 一宏观掌握解题通路：立体几何问题重在“建”——建模、建系 立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建模、建系． 建模——将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距离等的计算模型,有时也需建立函数模型； 建系——依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解． [解题示范] [典例]　如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点． (1)证明：OA⊥CD. (2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积． [关键点拨] 1．利用法向量求解空间角的关键在于“四破” 2．解答立体几何问题，应具备以下5点思维 (1)由于空间图形问题往往可转化为平面图形问题加以解决，因此要注意平面几何知识在解题中的灵活运用．例如，证线线平行可以利用三角形、梯形的中位线性质定理，还可以利用比例关系；证线线垂直可以利用菱形、正方形的对角线互相垂直，还可以利用勾股定理的逆定理． (2)立体几何中证明有关平行或垂直问题时，由于大多数问题主要考查的是有关判定定理在证题中的灵活运用，所以我们要优先考虑对应的判定定理去寻找证题思路． (3)立体几何中证明有关平行或垂直问题时，若对应的判定定理不便于运用，则应该及时考虑其他的证题思路．例如，要证线面平行，可以先证面面平行，再利用面面平行的性质；要证明线面垂直，可以先证面面垂直，再利用面面垂直的性质． (4)分析、解决有关立体几何问题时，往往需要考虑数形结合思想、分类与整合思想、转化思想在解题中的灵活应用． (5)由于立体几何解答题侧重考查空间向量法在解题中的灵活运用，所以必须熟练掌握利用空间向量法求解空间角的具体过程． [应用体验] (2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点． (1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60° ，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值． 解：(1)证明：因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，所以△ADB≌△CDB，所以AB＝BC. 因为E为AC的中点，所以AC⊥BE，AC⊥DE. 又BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BED，所以AC⊥平面BED. 又AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD. 二微观优化解题细节：提升五大能力，突破立体几何中的解题障碍点 能力一　提高识图、作图能力 识图、作图能力是学好立体几何应具备的重要能力之一，学生的识图、作图能力弱主要集中在作图问题、球问题的直观呈现和转化、展折问题的图形分析等．要提高识图、作图能力，需要理解作图的原理，在此基础上，培养模型意识和动手能力． [例1]　已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为 (　 ) [反思领悟] 本题往往会因为对直径认识不足(球心O为SC的中点)，而纠结如何作图(球内接三棱锥S-ABC)，不懂得对问题进行转化(VS-ABC＝2VO-ABC)，只有正确理解才能把问题转化为三棱锥O-ABC，再结合球的定义即可解决． [反思领悟] 解答本题的最大障碍是不会过顶点A作出平面α，解决的方法是通过“补体”快速实现把平面CB1D1“外移”，观察和作出平行线是本题作图的关键，常用的方法有利用中位线或平行四边形的性质等，尤其要注意长方体中的一些常见的平行关系(如本题D2B2∥CB1，AD2∥D1B1，AB2∥CD1)和垂直关系，以增加作图的方向感． 能力二　厘清相关概念 数学概念是思考问题、解决问题的出发点，很多同学由于概念意识不强，无法快速地把概念文本转化为相应的空间几何体，易把“异面直线所成的角”与“向量的夹角”混淆，易把“线面所成的角”等同“直线与平面法向量的夹角”，易分辨不清“二面角的平面角”与“两个法向量的夹角”之间的差异，同时对“线面所成的角”或“二面角的平面角”易忽视其定义的本质(即“找、证、算”)，而陷入盲目的计算，使得问题复杂化． ∴∠MAB为二面角M-AD-C的平面角． ∴∠MAB＝30°. 又△PAB为等边三角形，则M为PB的中点， [反思领悟] 解决本题第(2)问的关键在于厘清二面角M-AD-C与二面角M-AD-C的平面角，只有厘清哪个是平面角，才能寻求坐标之间的关系，在确定∠MAB为二面角的平面角时，要注意应用第(1)问的结论，这也是立体几何解答题的特点之一．事实上，在二面角的平面角的意义中，必须紧扣“相交棱”“