第2板块 大题专攻(一) “数列”大题的考法研究（课件PPT）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(一)　“数列”大题的考法研究 1 1 2 目 录 3 题型(一)等差、等比数列的基本运算 题型(二)等差数列、等比数列的判定与证明 题型(三)数列求和 2 [例1]　已知正项等比数列{an}和其前n项和Sn满足a5－a1＝2S4，a2·a3＝a4. (1)求{an}的通项公式； (2)在am和am＋1之间插入m个数，使得这m＋2个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为bm，求满足bm>50的正整数m的最小值． [解]　(1)依题意，设等比数列{an}的公比为q，则q>0，an≠0， [提分技巧] 等差、等比数列的基本量的求解策略 (1)分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要先求解的中间问题．如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，即确定解题的逻辑次序． (2)注意细节．例如：在等差数列与等比数列综合问题中，若等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能；在数列的通项问题中，第一项和后面的项能否用同一个公式表示等． 对点训练 1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝2Sn＋2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝2n＋1，证明：n>2时，an－bn>0. 解：(1)因为an＋1＝2Sn＋2，所以n≥2时，an＝2Sn－1＋2.所以an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an.所以an＋1＝3an(n≥2)．因为a2＝2S1＋2＝2a1＋2， 又an为等比数列，所以a2＝3a1.所以a1＝2.则等比数列{an}的首项为2，公比为3， 所以an＝2·3n－1. (2)证明：要证n>2时，an－bn>0，即证n>2时，2·3n－1>2n＋1， [解]　若选①数列{2nan}是等差数列， ∴{2nan}是首项为－1，公差为1的等差数列． [提分技巧] 证明(或判断)数列是等差(比)数列的4种基本方法 通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)⇒{an}是等差数列；an＝a1·qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N*)⇒{an}是等比数列 前n项和公式法 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇒{an}是等差数列；Sn＝Aqn－A(A为非零常数，q≠0,1)⇒{an}是等比数列 续表 对点训练 [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d. [提分技巧] 分组转化法求和的常见类型 [提醒]　某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． 对点训练 3．已知数列{an}满足a1＝1,2an＋1＝an.数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，bn＋bn＋2＝2bn＋1，n∈N*. (1)求数列{an}及{bn}的通项公式； (2)求数列{an＋bn}的前n项和Tn. [解]　(1)当n＝1时，2S1＝a1，即2a1＝a1， 所以a1＝0. 当n≥2时，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝(n－1)an－1， 两式相减得2an＝nan－(n－1)an－1， 即(n－1)an－1＝(n－2)an， 当n＝2时，可得a1＝0， [提分技巧] 错位相减法求和的关键 (1)错位相减后得到的和式中共有n＋1项，把第1项和第n＋1项单独处理； (2)得出结果后，使用S1＝a1进行检验，如果该式不成立，要重新核实运算过程，更正错误． 对点训练 解：(1)证明：当n＝1时，S1＝a2－2，解得a2＝3； 当n≥2时，Sn＝an＋1－1－n，Sn－1＝an－n，两式相减得an＝an＋1－an－1，即an＋1＝2an＋1， 即有an＋1＋1＝2(an＋1)．而a2＋1＝4＝2(a1＋1)，则∀n∈N*，an＋1＋1＝2(an＋1)， 所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列． 得a1＝3，d＝2.∴Sn＝3n＋n2－n＝n2＋2n. 对点训练 解：(1)设{an}公差为d，由题设可得2(1＋2d)－(1＋3d)＝2，得d＝1. 所以{an}的通项公式为an＝n. “专题跟踪检测（五） “数列”大题的考法研究” BUSINESS POWERPOINT 本课结束 　等差、等比数列的基本运算 因为a2·a3＝a4，所以a1q·a1q2＝a1q3，解得a1＝1或a1＝0(舍去)．因为a5－a1＝2S4，所以a1q4－a1＝2×，即q4－1＝2×，解得q＝3或q＝－1(舍去)，所以an＝3n－1. (2)由题意可得，bm＝＝＝，则bm＋1－bm＝－＝>0，故数列{bn}单调递增，不难发现b5＝＝27<50，b6＝＝>50，故满足题意的m的最小值为6. 需证n>2时，n－1>2，因为n>2且n∈N*，则n≥3，n－1≥2，所以n－1≥>2，原不等式成立． 　等差数列、等比数列的判定与证明 [例2]　已知数列{an