第1板块 大题专攻(二) “解三角形”大题的思维建模（课件PPT）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(二)　“解三角形”大题的思维建模 1 一宏观掌握解题通路：解三角形问题重在“变”——变角、变式 尽管解三角形的解答题起点低、位置前，但由于其公式多、性质繁，使得不少同学对其有种畏惧感．突破此难点的关键在于“变”——变角与变式，从“变角”来看，主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用， [关键点拨] 1．利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤 2．解三角形中的注意点 (1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． (2)注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0<A<π，b－c<a<b＋c，三角形中大边对大角等． 解：(1)因为D为BC的中点， (2)因为D为BC的中点，所以BC＝2BD. 二微观优化解题细节：解三角形必须具备的三个意识 “解三角形”的总体难度适中，入手比较容易，但在具体解决问题时，学生易出现“会而不对，对而不全”的情况．主要表现为：公式记忆不准确；在三角函数公式变形中转化不当，导致后续求解复杂或运算错误；忽视三角形中的隐含条件，求边、角时忽略其范围等．基于以上误区，解决此类问题要强化以下三个意识． 意识一　边角互化 [例1]　a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边．已知2asin A＝(2sin B－sin C)b＋(2sin C－sin B)c. (1)求A； (2)若c＝2，试问b的值是否可能为5？若可能，求△ABC的周长；若不可能，请说明理由． [解题观摩]　(1)因为2asin A＝(2sin B－sin C)b＋(2sin C－sin B)c， 由正弦定理可得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即a2＝b2＋c2－bc. [反思领悟] 正弦定理、余弦定理应用的主要功能是实现三角形中的边角互化．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的齐次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理是否都要应用．正弦定理、余弦定理的灵活应用需深入领会化归与转化思想，需要在解题中多归纳、多总结，抽象概括，总结方法规律． 涉及应用正弦定理、余弦定理的还有一种题型是判断三角形的形状，通常从两个方向进行变形：一个方向是边，考虑代数变形，通常正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，考虑三角变形，通常运用正弦定理． [反思领悟] 三角函数是一种重要的初等函数，函数与方程是高中数学的重要思想方法之一，在解决解三角形问题时常常用到该思想方法．对于求值或最值问题，也要求学生具有较强的函数与方程意识，构建未知量的函数与方程关系从而解决问题．同时，利用函数、方程、不等式解题时要注意变量范围的限制，要特别注意对一些隐含条件的挖掘，缩小角的取值范围． ∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD， (2)设BC＝x，则AB＝2BC＝2x. ∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD. [反思领悟] 对于上述问题的解答，应先厘清图形中边、角的关系，将已知条件抽象概括后，一般有两个方向：(1)把已知量全部集中在一个三角形中，利用正弦定理、余弦定理求解；(2)已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，先考虑解条件充分的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)． “解三角形”大题规范增分练 BUSINESS POWERPOINT 本课结束 如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·，＝－等．从“变式”来看，在解决解三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等． [解题示范] [典例]　2022·新课标Ⅰ卷记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. 1若C＝，求B；2求的最小值. (3)注意挖掘特殊关系量，如： ①已知两角A，B与一边a， 由A＋B＋C＝π及＝＝，可求出角C，再求b，c； ②已知两边b，c与其夹角A， 由a2＝b2＋c2－2bccos A，求出a，再由余弦定理，求出角B，C； ③已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C. [应用体验] (2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. 在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝. 所以S△ABC＝2S△ADC＝2××AD×DCsin∠ADC＝2××1×DC×