1.5 三角函数的应用 课件2023-2024学年北师大版数学九年级下册

三角函数的应用 九年级下册数学北师大版 1.正确理解方位角、仰角和坡角的概念;(重点) 2.能运用解直角三角形知识解决方位角、仰角和坡角 的问题.(难点) 学习目标 我们已经知道轮船在海中航行时,可以用方位角准确描述它的航行方向. 那你知道如何结合方位角等数据进行计算,帮助轮船在航行中远离危险吗? 如图,海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西55 的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25 的C处.之后,货轮继续向东航行. 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗? 请与同伴交流你是怎么想的? 怎么去做? A B C D 北 东 与方向角有关的实际问题 4 解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD>10海里,则无触礁的危险. 根据题意可知,∠BAD=55 ,∠CAD=25 ,BC= 20海里.设AD=x海里. A B C D 北 东 55 25 ∵tan55 =,tan25 = ∴BD=xtan55 ,CD=xtan25 ∴ xtan55 - xtan55 =20 ∴x=(海里) 答:货轮继续向东航行途中没有触礁的危险. 5 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题); (2)根据条件的特点,适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案. 如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为600,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m). 要解决这问题,我们仍需将其数学化. 请与同伴交流你是怎么想的? 准备怎么去做? 现在你能完成这个任务吗? 与仰角、俯角相关的测量与计算 解:如图,根据题意可知:∠A=30 ,∠DBC=60 ,AB=50 m, 则∠ADC=60 ,∠BDC=30 ,设CD=x m. ∵tan∠ADC=,tan∠BDC= ∴AC=xtan60 ,BC=xtan30 ∴ xtan60 - xtan30 =50 ∴x=(m) 答:该塔约有43m高. 8 某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40 减至35 ,已知原楼梯的长度为4 m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m). 1.现在你能完成这个任务吗? 2.请与同伴交流你是怎么想的? 准备怎么去做? A B C D 可以将实际问题转化成数学问题,再解决. 利用倾斜角解决实际问题 某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40 减至35 ,已知原楼梯的长度为4 m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m). 转化后的问题: 如图,根据题意可知,∠A=35 ,∠BDC=40 ,DB=4m. 求(1)AB-BD的长. (2) AD的长. A B C D 4 m 35 40 如图,根据题意可知,∠A=35 ,∠BDC=40 ,DB=4m. 求:(1)AB-BD的长. A B C D 4m 35 40 解:∵sin40 =,∴BC=BDsin40 ∵sin35 = ∴AB=, ∴AB-BD 4.48-4=0.48(m) 答:调整后的楼梯会加长约0.48m. 如图,根据题意可知,∠A=35 ,∠BDC=40 ,DB=4m. 求:(2) AD的长. A B C D 4m 35 40 解:∵tan40 =,∴DC= ∵tan35 =,∴AC= ∴AD=AC-DC=BC(-) =BDsin40 (-), 答:楼梯多占约0.61m长的一段地面. 用三角函数知识解决实际问题的一般步骤: (1)通过读题把已知转化为数学图形; (2)找出直角三角形和已知、未知元素; (3)选择合适的锐角三角函数求未知数; (4)解题. 13 1.如图1,在高出海平面100米的悬崖顶A处,观测海平面上一艘小船B,并测得它的俯角为45 ,则船与观测者之间的水平距离BC=_米. 2.如图2,两建筑物AB和CD的水平距离为30米,从A点测得D点的俯角为30 ,测得C点的俯角为60 ,则建筑物CD的高为_米. 100 图1 图2 B C B C 巩固练习 3.如图3,从地面上的C,D两点测得树顶A仰角分别是45 和30 ,已知CD=200米,点C在BD上,则树高AB等于 (根号保留). 4.如图4,将宽为1cm的纸条沿BC折叠,∠CAB=45 , 则折叠后重叠部分的面积为 (根号保留). 图3 图4 5.如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4km,某船从港口A出发,沿北偏东15 方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北