1.1 锐角三角函数（1）课件 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

锐角三角函数（1） 九年级下册数学北师大版 1.理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系；（重点） 2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算； (重点) 3.了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题.（难点） 学习目标 智者乐水，仁者乐山 新知讲解 思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？ 陡 陡意味着倾斜程度大！ 问题 你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 5 （1）高度相同，怎么判断哪个梯子陡？ 2.5m 2m 5m 5m A B C D E F 高度相同，用梯子的低端离墙的远近来判断： 水平距离越短，倾斜角越大，梯子越陡. 更陡 （2）水平距离相同，怎么判断哪个梯子陡？ 2m 2m 3m 5m A B C D E F 水平距离相同，用梯子的放在墙上的高低来判断： 梯子越高，铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡. 更陡 如图，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子AB1的倾斜程度； 而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子AB1的倾斜程度. 你同意小亮的看法吗? A B1 C2 C1 B2 （1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系? （3）如果改变B2在梯子上的位置（如B3C3 ）呢? 由此你得出什么结论? A B1 C2 C1 B2 C3 B3 （2） 和有什么关系? Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2 = == 结论：在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值,那么这个角的值也随之确定. 直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数——正切函数 A B C ∠A的对边 ∠A的邻边 ┌ tanA= 在Rt△ABC中，如果说锐角A确定， 那么∠A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比 叫做∠A 的正切（tangent）记作tan A，即 定义中应该注意的几个问题: 1. tan A 是一个完整的符号，它表示 ∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”．以后学的 sin A， cos A 也是这样. 2.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角（注意数形结合，构造直角三角形）. 3.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号（tan A不是tan乘以A）； 4.tanA是一个比值（直角边之比.注意比的顺序,且tanA﹥0,无单位）. 5.tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关. 6.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等,则这两个锐角相等. 观察 梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？ 2.5m 2m 5m 5m A B C D E F = = AB更陡. 结论：tan A的值越大，梯子越陡. 【例1】下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡? 解:甲梯中,tan α= 乙梯中,tanβ= ∵tanα＞tanβ， ∴甲梯更陡. β 5m ┌ 乙 13m 提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度. α 4m ┐ 甲 8m A B C ┌ 思考：锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？ 对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应. 解：可以等于1，此时为等腰直角三角形； 可以大于1，当锐角的对边比邻边长的时候. 正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m，那么山坡的坡度i (即tanα)就是: 坡面与水平面的夹角(α)称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比)，即坡度等于坡角的正切. 坡度越大，坡角越大，坡面就越陡. 100m 60m ┌ α i 坡度、坡角 【例2】如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m，求山坡的坡度(结果精确到0.001m). A B C ┌ 解：i=tan A= B C A (1)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5, AC=12,tanA=( ). (2)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5, AB=13,tanA=( ),tanB=( ). (3)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,tanA= , AC=( ). 1.完成下列填空： 巩固练习 2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA= （ ） A.