1.4 解直角三角形 课件2023-2024学年北师大版数学九年级下册

解直角三角形 九年级下册数学北师大版 1.掌握解直角三角形的概念;(重点) 2.掌握解直角三角形的依据并能熟练解题. (重点、难点) 学习目标 A C B c b a (1) 三边之间的关系:a2+b2=_; (2)锐角之间的关系:∠A+∠B=_; (3)边角之间的关系:sinA=_,cosA=_, tanA=_. 在Rt ABC中,共有六个元素(三条边,三个角),其中∠C=90 ,那么其余五个元素之间有怎样的关系呢? c2 90 复习导入 已知两边解直角三角形 问题1 如果已知Rt ABC中两边的长,你能求出这个三角形其他的元素吗? 新知讲解 在直角三角形ABC中,如果已知其中两边的长,你能求出这个三角形的其他元素吗? 【例1】如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,a=b=求这个直角三角形的其他元素. 解:在Rt ABC中,a2+b2=c2, a=b= ∴c=2. 在Rt ABC中,sinB= ∴ ∠ B = 30 ,∠ A = 60 A B C 如果已知直角三角形两边的长度,可以求出其他元素. 5 在直角三角形ABC中,如果已知一边和一个锐角,你能求出这个三角形的其他元素吗? 【例2】在 Rt ABC 中,∠ C 为直角,∠ A,∠ B,∠ C 所对的边分别为 a, b,c,且 b = 30,∠ B=25 ,求这个三角形的其他元素(边长精确到1). 解:在 Rt ABC 中,∠ C = 90 ,∠ B = 25 , ∴ ∠ A = 65 ∵ sin B =,b = 30, ∴ c = = ≈ 71. ∵ tan B = ,b = 30, ∴ a = = ≈ 64. 如果已知直角三角形的一边和一个锐角,可以求出其他元素. 6 在直角三角形的6个元素(即3条边和3个锐角)中,直角是已知元素,如果再知道一条边和第三个元素,这个三角形的所有元素就可以确定下来 解直角三角形的依据: (1)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理); (2)锐角之间的关系:∠A+∠B= 90 ; (3)边角之间的关系:sin A=cos A= (4)面积公式:S ABC= 在直角三角形中,由直角三角形中已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形. 【例3】如图,在 ABC中,CD⊥AB,垂足为D.若AB=12,CD=6,tan A=,求sin B+cos B的值. 解:在Rt ACD中,∵∠ADC=90 , ∴tan A===32,∴AD=4,∴BD=AB-AD=12-4=8. 在Rt BCD中,∵∠BDC=90 ,BD=8,CD=6, ∴BC==10, ∴sin B==35,cos B==,∴sin B+cos B=+=. 1.做标注:在遇到解直角三形的问题时,先画一个直角三角形的草图,按题意标明哪些元素是已知的,哪些元素是未知的,以得于分析解决问题. 2.找关系式:选取关系式时要尽量利用原始数据,以防止“累积错误”. 3.遵循规则:遵循“有斜用弦,无斜用切;宁乘勿除,化斜为直”. 说说解直角三角形时,有哪些注意点? 如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,EC=4, sinB= ,则菱形的周长是( ) A.10 B.20 C.40 D.28 C 1.如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,∠B=30 , AB=8,则BC的长是( ) D 2.在 ABC中,AB=AC=3,BC=4,则cosB 的值是_. 巩固练习 3.如图,已知Rt ABC中,斜边BC上的高AD=3,cosB= ,则AC的长为( ) A.3 B.3.75 C.4.8 D.5 B 4.在Rt ABC中,∠C=90 ,根据下列条件解直角三角形; (1)a = 30 , b = 20 ; 解:根据勾股定理得 A B C b=20 a=30 c (2) ∠B=72 ,c = 14. A B C b a c=14 解: 5. 如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,AC=6, ∠BAC的平分线 ,解这个直角三角形. D A B C 6 解: ∵AD平分∠BAC, 6. 如图,在Rt ABC 中,∠C=90 ,cosA = , BC = 5, 试求AB的长. 解: A C B 设 ∴AB的长为 7. 如图,某人想沿着梯子爬上高4米的房顶,梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角)不能大于60 ,否则就有危险,那么梯子的长至少为多少米? 解:如图所示,依题意可知,当∠B=600 时, 答:梯子的长至少4.62米. C A B 图② 当 ABC为锐角三角形时,如图②, BC=BD+CD=12+5=17. 图① 解:∵cos∠B= ,∴∠B=45 , 当 ABC为钝角三角形时,如图①, ∵AC=13,∴由勾股定理得CD=5 ∴BC=BD-CD=12-5=7; ∴BC的长为7或17. 当三角形的形状