第八章 立体几何初步 单元复习提升（5大易错与11大拓展）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（人教A版2019必修第二册）

第八章 立体几何初步 （5大易错与11大拓展） 易错点1 混淆斜二测画法中长度有变有不变 【指点迷津】直观图还原原图时注意长度有变有不变：与轴平行（重合）的线段长度不变；与轴平行（重合）的线段长度直观图是原图的一半. 典例1（2024上·上海·高二复旦附中校考期末）如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，，则的面积为 .    典例2（2024·全国·高一假期作业）水平放置的的直观图是一个如图所示的等腰直角三角形，点是斜边的中点，且，则底边的高为 .    跟踪训练1（2024·全国·高一假期作业）如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，则的面积是 .    跟踪训练2（2024上·上海·高二上海师大附中校考期末）如图，是一平面图的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是    易错点2 混淆直观图和原图 【指点迷津】在斜二测画法画出的直观图中，一定要注意题目问的是原图，还是直观图 典例1（2023上·浙江·高二校联考期中）图，某四边形的直观图是正方形，且，则原四边形的周长等于（    ）    A．2 B． C．4 D． 典例2（2023上·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习）等边三角形的边长为，建立如图所示的直角坐标系，用斜二测画法得到它的直观图，则它的直观图的面积是 ． 跟踪训练1（2023下·湖北黄冈·高一校考阶段练习）如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积是（    ）    A．4 B． C． D．16 跟踪训练2（2023上·贵州黔西·高三贵州省兴义市第八中学校考阶段练习）如图，矩形是水平放置的平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为 ． 易错点3 在直线与平面平行中，忽视直线是否在平面内的多种情况 【指点迷津】直线与平面平行的判定定理中：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行，解题时忽略了“平面外”这个重要条件 典例1（2024·全国·高一假期作业）在空间中，直线平面的一个充要条件是（    ） A．内有一条直线与平行 B．内有无数条直线与平行 C．任意一条与垂直的直线都垂直于 D．存在一个与平行的平面经过 典例2（2023·全国·高三对口高考）如果平面外有两点A、B，它们到平面的距离都是a，则直线和平面的位置关系是 ． 典例3（2023上·高二课时练习）如果直线直线n，且平面，那么n与的位置关系是 ． 跟踪训练1（2024·全国·高三专题练习）过直线l外两点作与l平行的平面，那么这样的平面（    ） A．不存在 B．只有一个 C．有无数个 D．不能确定 跟踪训练2（2024·全国·高三专题练习）下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能满足平面MNP的是（    ） A．   B．   C．   D．   易错点4 错误认为，无数等于所有 【指点迷津】错误的认为与平面内无数条直线，那不就是这个平面的所有直线，错误的认为无数等于所有. 典例1（2023·全国·高三专题练习）下列说法中可以判断直线平面的是（    ） A．直线l与平面内的一条直线垂直 B．直线l与平面内的两条直线垂直 C．直线l与平面内的两条相交直线垂直 D．直线l与平面内的无数条直线垂直 典例2（2023·全国·高一随堂练习）下列各种说法正确吗？为什么？ (1)如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直； (2)如果一条直线和一个平面内的任意两条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直； (3)如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直． 跟踪训练1（2023上·上海奉贤·高二校考阶段练习）下列命题正确个数为（    ） ①三点确定一个平面；②若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则该直线与平面垂直； ③同时垂直于一条直线的两条直线平行；④底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的表面积为． A．0 B．1 C．2 D．3 跟踪训练2（多选）（2023·全国·高一专题练习）下列条件中能推出的有（    ） A．直线l与平面内一个三角形的两边垂直 B．直线l与平面内一个梯形的两边垂直 C．直线l与平面内无数条直线垂直 D．直线l与平面内任意一条直线垂直 易错点5 忽略异面直线所成角的范围 【指点迷津】忽略了异面直线所成角的范围，所以两条异面直线所成角的余弦值一定是正数. 典例1（2023上·新疆伊犁·高二校考期末）如图，在正四棱柱中，，O是底面的中心，E，F分别是，的中点，求直线与直线夹角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 典例2（2023下·浙江嘉兴·高一校考期中）如图，在