6.3&6.4相似图形&探索相似三角形的条件（十四大题型）-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学下册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）九年级下册数学《第6章 图形的相似》 6.3&6.4相似图形&探索相似三角形的条件 知识点一 相似图形 ◆1、相似图形：把形状相同的图形叫相似图形． 【注意】两个图形是否相似与图形的大小、位置无关. 两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的. ◆2、相似多边形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形. 【注意】两个多边形相似，必须同时具备三个条件： (1)边数相同； (2)角分别相等； (3)边成比例. ◆3、相似多边形性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；相似多边形的对应边的比叫做相似比. 知识点二 相似三角形 如图，在△ABC 和△DEF 中，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，, 即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC∽△DEF，△ABC 和△DEF 的相似比为 k， △DEF 与△ABC 的相似比为. 【注意】 用符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上. △ABC∽△DEF 表示顶点 A 与 D，B 与 E，C 与 F分别对应.；如果仅说“△ABC与△DEF相似 ”，没有用“∽”连接，则需要分类讨论它们之间的对应关系. (1)相似三角形的定义可以作为相似三角形的判定方法，也是相似三角形最重要的性质. (2)全等三角形是特殊的相似三角形，即全等三角形是相似比为1的相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形. (3)相似三角形具有传递性,即若△ABC∽ △DEF， △DEF∽ △OPQ，则△ABC∽ △OPQ. 知识点三 平行线分线段成比例 ◆1、平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. ◆2、符号语言： 【注意】 2.对应线段成比例是指同一条直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比，书写时，要把对应线段写在对应的位置上. ◆2、平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. ◆3、相似三角形的预备定理 （1）平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. （2）几何语言：如下图所示，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC. （3）三角形相似的两种常见类型： 【注意】 定理中“和其他两边相交”是指和其他两边所在的直线相交. 知识点四 相似三角形的判定 ◆1、判定定理1：利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似. ∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC ∽△A'B'C'. 【注意】利用此定理证明两三角形相似的关键是找相等的角.如公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)、同弧所对的圆周角等都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件. ◆2、判定定理2：利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 【注意】应用该定理判定两个三角形相似时，相等的角必须是成比例的两边的夹角. ◆3、判定定理3： 利用三边判定两个三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似． 【注意】 利用三边成比例判定两个三角形相似时，一定要注意边与边之间的对应关系，主要根据“长边对长边，短边对短边”的思路找对应边. 测物体的高度 AB. 知识点五 三角形的重心 ◆1、三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心. ◆2、三角形重心的性质:三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍. 题型一 相似图形 【例题1】（2023秋•滑县期末）下面几对图形中，相似的是（　　） A． B． C． D． 解题技巧提炼 判断两个图形是否相似，就是看这两个图形的，形状是否相同，这是相似图形的本质. 【变式1-1】（2023秋•青阳县期末）下列各组图形一定相似的是（　　） A．所有等腰三角形都相似 B．所有等边三角形都相似 C．所有菱形都相似 D．所有矩形都相似 【变式1-2】（2023秋•衡南县期末）下列四组图形中，不是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023秋•辽中区期末）下列说法不一定正确的是（　　） A．所有的等边三角形都相似 B．有一个角是100°的等腰三角形相似 C．所有的正方形都相似 D．所有的矩形都相似 【变式1-4】（2022秋•富川县校级期末）下列说法错误的是（　　） A．任意两个矩形都相似 B．任意两个正六边形都相似 C．任意两个正方形都相似 D．有一个角对应相等的菱形相似 题型二 相似多边形的性质与判定 【例题2】（2023秋•锦江区校级月考）若四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′