1.1.2 空间向量的数量积运算 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.1.2 空间向量的数量积运算 1 一　空间向量的夹角 如图，已知两个非零向量，在空间任取一点O，作=，=则∠AOB叫做向量的夹角，记作. O B A O B A 如果=，那么向量互相垂直，记作. 新知探究 通常规定，，且. 新知探究 二 两个向量的数量积 已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作.即. 特别地，零向量与任意向量的数量积为0. 向量的数量积定义，可以得到： . 新知探究 三 投影向量 称向量 为向量 在向量 上的投影向量 新知探究 思考： （1）向量向直线的投影呢？ （2）向量向平面β的投影呢？ 向 的方向向量投影 向 平面β内的射影直线投影 新知探究 四　空间向量数量积的运算 空间向量的数量积满足如下的运算律： ()·=(·)，∈R ·=·(交换律) ·(＋)=·+· (分配律) 新知探究 思考1：对于三个均不为0的数，若，则.即数有消去律，那么对于向量，由，你能得到吗？ 思考2：对于三个均不为0的数，若，则(或).对于向量，由，能不能写成的形式？ 不能. 如， 时 不能. 向量没有除法 新知探究 思考3：对于三个均不为0的数，有对于向量，成立吗？为什么？ 不能. 共线， 与，但不一定共线 例题讲解 A B C D A B C D 例题讲解 例题讲解 l m n g 证明:在平面内作任意一条直线， 分别在直线上取非零向量. 因为直线与相交，所以向量不平行. 由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序数对，使. 例题讲解 将上式两边分别与向量作数量积运算，得 因为，， 所以.所以. 这就证明了直线垂直于平面内的任意一条直线，所以. $$