专题06 函数中的角度问题-【一战成名新中考】2024山东中考数学·培优册

培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 专题六　函数中的角度问题 　典例精析 例１　（优质原创）如图，在平面直角坐标系中，点Ａ（２，０），Ｂ（０，１），ｌ⊥ｘ轴于点Ａ，连接ＡＢ． 例１题图 １．等角关系 （１）点Ｐ是ｌ上一点，当∠ＰＯＡ＝∠ＯＡＢ时，点Ｐ的坐标为　（２，１）或（２，－１）　； （２）点Ｐ是ｌ上一点，且∠ＰＢＡ＝∠ＯＡＢ． ①当点Ｐ在点Ａ上方时，ＰＢ与ｘ轴的位置关系是　ＰＢ∥ｘ轴　，此时点Ｐ 的坐标为　（２，１）　； ②当点Ｐ在点 Ａ下方时，设 ＰＢ与 ｘ轴的交点为 Ｃ，则 ＢＣ　 ＝　ＡＣ，点 Ｃ的坐标为 　　　　　，点Ｐ的坐标为　　　　　                                  ； 【必备能力】得到等角的方法 思维方式：①平行：两直线平行，同位角、内错角相等；②角平分线：角平分线分得的两个角 相等；③等腰三角形：等边对等角；④全等（相似）三角形：对应角相等；⑤锐角三角函数：若 两个锐角的同名三角函数值相等，则这两个锐角相等． 　 　 　 　 解题要点：等角问题中，若α＝β，在计算过程中通常将α＝β转化为ｔａｎα＝ｔａｎβ． ２．半角、倍角关系 （１）点Ｐ是ＡＢ上方ｙ轴上一点，当∠ＢＰＡ＝１２∠ＯＢＡ时，点Ｐ的坐标为　（０，１＋槡５）　； （２）点Ｐ是ＯＡ上一点，当∠ＢＰＯ＝２∠ＯＡＢ时，点Ｐ的坐标为　　　　　                                            ． 【必备能力】利用等腰三角形性质构造倍、半角 思维方式：如图，等腰三角形中顶角的外角等于两底角之和． 　 图① 　 图② 解题要点：（１）如图①，在ＯＢ的延长线上截取ＢＰ＝ＢＡ，连接ＡＰ，则∠ＯＢＡ＝∠　ＢＰＡ　＋ ∠　ＢＡＰ　，即∠ＢＰＡ＝１２∠ＯＢＡ；（２）如图②，作ＡＢ的垂直平分线交ＯＡ于点Ｐ，连接ＢＰ， 则∠ＯＡＢ＋∠　ＰＢＡ　＝∠　ＢＰＯ　，即∠ＢＰＯ＝２∠ＯＡＢ． ９１ 培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 例２　（优质原创）如图，在平面直角坐标系中，Ｏ为坐标原点，抛物线ｙ＝－１２ｘ ２－ｘ＋４与ｘ轴 交于点Ａ（２，０），Ｂ（－４，０），与ｙ轴交于点Ｃ（０，４），点Ｄ（－３，５２）在抛物线上． （１）连接ＢＣ，点Ｐ在抛物线上，且∠ＢＣＤ＝∠ＰＢＡ，求点Ｐ的坐标； 例２题图                                           【必备能力】等角存在性问题解题要点 要点１：将∠ＢＣＤ＝∠ＰＢＡ转化为ｔａｎ∠ＢＣＤ＝ｔａｎ∠ＰＢＡ； 要点２：求出ｔａｎ∠ＢＣＤ； 一般解法：过点Ｄ作ＤＨ⊥ＢＣ于点Ｈ，连接ＢＤ，构造直角三角形求解； 要点３：求点Ｐ的坐标． 思路１：联立方程求解法：在ｙ轴上点Ｏ两侧各找到一个点Ｇ，使得ｔａｎ∠ＧＢＡ＝ｔａｎ∠ＢＣＤ， 则直线ＢＧ与抛物线的交点即为点Ｐ，求得直线ＢＧ的表达式，与抛物线表达式联立求解即 可得到点Ｐ的坐标； 思路２：设点求正切值法：设点Ｐ的坐标为（ｍ，－１２ｍ ２－ｍ＋４），过点Ｐ作ＰＥ⊥ｘ轴于点Ｅ， ∴ｔａｎ∠ＰＢＡ＝ｔａｎ∠ＰＢＥ＝　　　　．当点 Ｐ在 ｘ轴上方时，ｔａｎ∠ＰＢＡ＝　　　　　　　； 当点Ｐ在ｘ轴下方时，ｔａｎ∠ＰＢＡ＝　　　　　　． 【自主作答】 解：如解图①，过点Ｄ作ＤＨ⊥ＢＣ于点Ｈ，连接ＢＤ．∵Ｂ（－４，０），Ｃ（０，４），Ｄ（－３，５２），∴ＢＤ＝ 槡２９ ２ ，ＣＤ＝ ３槡５ ２，ＢＣ＝４槡２．设ＣＨ＝ｎ，则ＢＨ＝４槡２－ｎ，由勾股定理可得ＢＤ ２－ＢＨ２＝ＣＤ２－ＣＨ２， ∴２９４－（４槡２－ｎ） ２＝４５４－ｎ ２，解得ｎ＝９槡２４，∴ＤＨ＝ ３槡２ ４，∴ｔａｎ∠ＢＣＤ＝ｔａｎ∠ＤＣＨ＝ ＤＨ ＣＨ＝ １ ３． 如解图②，设ＰＢ交ｙ轴于点Ｇ．①当点Ｐ在ｘ轴上方时，点Ｇ也在ｘ轴上方， ∴ｔａｎ∠ＰＢＡ＝ｔａｎ∠ＢＣＤ＝Ｏ