第1部分 第4章 微专项5 对角互补模型（PPT课件）-【中考通】2024年中考数学分层复习（河南专用）

第一部分　教材考点　分层复习 第四章　三角形 微专项5　对角互补模型 典例　数学兴趣小组探究了以下几何图形．把一个含有45°角的三角板和一个含有30°角的三角板按图1的方式放置在一起，使得两个三角板的斜边重合． 【操作发现】(1)如图2，连接BD，小亮经过探究发现：①BD平分∠ABC；②AB＋BC＝ BD；③S四边形ABCD＝ BD2.针对小亮发现的结论，请给出证明． 返回 首页 证明：解法一：过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，过点D作DF⊥BC于点F，标记∠1，如解图1所示． 易知∠DAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠ADC＝360°. ∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠DAB＋∠BCD＝180°. 又∵∠DAB＋∠1＝180°，∴∠1＝∠BCD. ∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB＝∠DFB＝90°. 又∵AD＝CD，∴△DEA≌△DFC(AAS).∴AE＝CF，DE＝DF.∴BD平分∠ABC. 返回 首页 又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∠ABC＝90°，∴四边形EBFD是正方形． ∴DE＝BF＝DF＝BE，BE2＋DE2＝BD2.∴2BE2＝BD2. 返回 首页 解法二：过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，标记∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，如解图2所示． ∵∠ADC＝∠BDE＝90°，∴∠1＝∠2. 由解法一知∠BAD＋∠3＝180°， 又∵∠4＋∠3＝180°， ∴∠BAD＝∠4. 又∵AD＝CD，∴△DAB≌△DCE(ASA). ∴∠5＝∠E，BD＝DE，AB＝CE. 返回 首页 返回 首页 【深入探究】(2)小颖经过观察思考，归纳出图2的特点是：①∠ABC＝∠ADC＝90°；②AD＝CD.她继续进行探究，发现并提出新的问题：把条件①换成∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，条件②不变，如图3，试探究可得到哪些结论，并说明理由． 返回 首页 结论：①BD平分∠ABC；②AB＋BC＝BD；③S四边形ABCD＝ BD2. 理由如下：延长BC到点E，使CE＝AB，标记∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，如解图3所示． ∵∠1＋∠A＝180°，∠1＋∠2＝180°，∴∠A＝∠2. 又∵AD＝CD，∴△DAB≌△DCE(SAS).∴∠3＝∠E， ∠5＝∠6，BD＝DE. ∴∠4＝∠E＝∠3.∴BD平分∠ABC. 返回 首页 ∵∠ADC＝∠5＋∠BDC＝∠6＋∠BDC＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形． ∴AB＋BC＝CE＋BC＝BE＝BD. 由全等，可知S△DAB＝S△DCE，∴S四边形ABCD＝S△BDE＝ BD2. 返回 首页 【拓展探究】(3)小明深入研究了小亮和小颖的探究过程，发现并提出如下结论：如图4，若∠ABC＋∠ADC＝180°，AD＝CD，则BD平分∠ABC.请你对小明的结论进行证明． 返回 首页 证明：延长BC到点E，使CE＝AB，连接DE，标记∠1，∠2，∠3，∠4，如解图4所示． ∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠4＋∠A＝180°. 又∵∠1＋∠4＝180°，∴∠A＝∠1. 又∵AD＝CD，∴△DAB≌△DCE(SAS). ∴∠2＝∠E，BD＝DE. ∴∠3＝∠E＝∠2.∴BD平分∠ABC. 返回 首页 条件 如图，∠AOB＋∠DCE＝180°，CD＝CE 图示 作法一：过点C分别作OA，OB的垂线CG，CH，则△CGD≌△CHE 作法二：在EB上截取EF＝OD，连接CF，则△COD≌△CFE 返回 首页 结论 ①OC平分∠AOB；②当∠AOB＝90°时，OD＋OE＝ OC；③当∠AOB＝120°时，OD＋OE＝OC 拓展 若将条件“CD＝CE”与结论“OC平分∠AOB”互换，则命题仍成立 返回 首页 ∴BE＝BD.∴BE＋BF＝BD. ∵BE＝AB＋AE，BF＝BC－CF，∴AB＋AE＋BC－CF＝BD. ∵AE＝CF，∴AB＋BC＝BD. 由全等，可知S△DEA＝S△DFC，∴S四边形ABCD＝S四边形DFBE＝BE2＝ ＝BD2. ∴∠E＝∠5＝∠6＝45°.∴BE＝BD. ∵BE＝BC＋CE＝BC＋AB，∴AB＋BC＝BD. 由全等，可知S△DAB＝S△DCE，∴S四边形ABCD＝S△BDE＝BD·DE＝BD2. $$