第1部分 第4章 微专项3 一线三等角模型（PPT课件）-【中考通】2024年中考数学分层复习（河南专用）

第一部分　教材考点　分层复习 第四章　三角形 微专项3　一线三等角模型 典例　【初步发现】(1)如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B，C分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E，求证：DE＝BD＋CE. 图1 返回 首页 证明：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°.∴∠BAD＋∠ABD＝90°. ∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°.∴∠CAE＝∠ABD. 又∵AB＝AC，∴△ADB≌△CEA(AAS). ∴BD＝AE，AD＝CE.∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE. 返回 首页 【类比探究】(2)在(1)的条件下，当直线l绕点A旋转到图2的位置时，线段BD，CE和DE的数量关系为DE＝____________. 图2 CE－BD 返回 首页 【迁移探究】(3)在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P是BC边上一动点，小慧将含45°角的透明直角三角板放置在△ABC上，使45°角的顶点落在点P处，三角板可绕点P旋转． ①如图3，当三角板的两边分别交AB，AC于点E，F时，求证：△BPE∽△CFP； 图3 返回 首页 ①证明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°. ∵∠B＋∠BPE＋∠BEP＝180°，∴∠BPE＋∠BEP＝135°. 由题意，知∠EPF＝45°，∴∠BPE＋∠CPF＝135°.∴∠BEP＝∠CPF. 又∵∠B＝∠C，∴△BPE∽△CFP. 返回 首页 ②如图4，当三角板的两边分别交BA的延长线、AC于点E，F时，△BPE与△CFP还相似吗？(只需写出结论) 图4 解：相似． 返回 首页 【拓展探究】(4)如图4，在(3)②的条件下，连接EF，当点P运动到BC的中点时，△BPE与△PFE是否相似？说明理由． 解：△BPE∽△PFE.理由如下： 又∵∠EBP＝∠EPF，∴△BPE∽△PFE. 图4 返回 首页 条件：如图，A，P，B三点共线，∠1＝∠2＝∠3. 返回 首页 结论：若PC＝PD(或AP＝BD或PB＝CA)，则△ACP≌△BPD. 若PC≠PD，则△ACP∽△BPD. 【温馨提示】若一线三等角为直角，一般利用“同(等)角的余角相等”找到对应角相等；若一线三等角为锐角或钝角，一般根据三角形内外角关系进行等角转换． 返回 首页 跟踪训练 1．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在x轴上，点A在y轴上，若点B的坐标为(6，1)，则点A的坐标为________. (0，5) 返回 首页 2．如图，直线l过正方形ABCD的顶点A，点B，D到直线l的距离分别为5，12，则正方形的周长为____. 52 返回 首页 3．如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F.若AB＝10，AD＝6，E为AB的中点，则BF的长为_____. 返回 首页 4．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°. (1)若AB＝3，CD＝1，则BE＝__. (2)若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD＝___. 3 返回 首页 5．如图，在矩形ABCD中，E为边CB上一点，AF⊥DE于点F，若AB＝ 3，AD＝2，E为BC的中点，则DF的长为______. 返回 首页 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4.E为AB边上一点(不与点A，B重合)，连接CE，过点E作∠CEF＝45°交BC于点F.当△CEF为等腰三角形时，BE的长为__________. 返回 首页 7．(2023·聊城)如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C. 返回 首页 (1)求证：∠EAD＝∠EDA. 证明：∵∠AEC＝∠AED＋∠CED＝∠B＋∠BAE，∠B＝∠AED， ∴∠BAE＝∠CED. ∴△ABE≌△ECD(AAS). ∴AE＝ED. ∴∠EAD＝∠EDA. 返回 首页 (2)若∠C＝60°，DE＝4，求△AED的面积． 解：∵∠AED＝∠C＝60°，AE＝ED， ∴△AED为等边三角形． ∴AE＝AD＝ED＝4. 过点A作AF⊥ED于点F，如解图所示． 返回 首页 同(3)，可证△CFP∽△BPE，∴＝. ∵点P是BC的中点，∴CP＝BP.∴＝. 2或2 在△ABE和△ECD中， 则EF＝ED＝2，AF＝EF＝2. ∴S△AED＝ED·AF＝×4×2＝4. $$