专题8.3 简单几何体的表面积与体积【七大题型】-2023-2024学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题8.3 简单几何体的表面积与体积【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 多面体的表面积与体积】 2 【题型2 圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积】 3 【题型3 球的表面积与体积】 5 【题型4 组合体的表面积与体积】 5 【题型5 球的截面问题】 7 【题型6 几何体与球的切、接问题】 8 【题型7 实际应用问题】 10 【知识点1 简单几何体的表面积与体积】 1．多面体的侧面积、表面积和体积 多面体 图形 侧面积与表面积 体积 棱柱 直棱柱的侧面展开图是矩形， S直棱柱侧=Ch(C为底面周长，h为高)， S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底为底面面积) V柱= S底h ( S底为底面面积，h为高) 棱锥 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，S正棱锥侧=Ch' (C为底面周长，h'为斜高)，S正棱锥表=S正棱锥侧+S底(S底为底面面积) ( S底为底面面积，h为高) 棱台 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，S正棱台侧=(C+C')h'(C'、C分别为上、下底面的周长，h'为斜高)，S正棱台表=S正棱台侧+S+S′(S′、S分别为上、下底面面积) (S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高) 2．旋转体的侧面积、表面积和体积 旋转体 图形 侧面积与表面积 体积 圆柱 圆柱的侧面展开图是矩形，S圆柱侧=2πrl，表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高) 圆锥 圆锥的侧面展开图是扇形，S圆锥侧=πrl，表面积 S=πr2+πrl=πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高) 圆台 圆台的侧面展开图是扇环，S圆台侧=π(r1+r2)l， 表面积 体积 (S'、S分别为上、下底面面积，h为圆台的高) 球 半径为R的球的表面积S=4πR2 半径为R的球的体积 3．空间几何体表面积与体积的常见求法 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解. ②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可. ③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等. ④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. (2)求组合体的表面积与体积的方法 求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该 怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减. 【题型1 多面体的表面积与体积】 【例1】（2023上·黑龙江·高二统考学业考试）《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.现有一个“鳖臑”，底面，，且，，则该四面体的体积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式1-1】（2023上·湖南岳阳·高二校考竞赛）正方体的八个顶点中，有四个恰好为正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（    ）． A． B． C． D． 【变式1-2】（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知正三棱柱的六个顶点均在同一个半径为1的球面上，则正三棱柱侧面积的最大值为（    ） A． B． C．6 D． 【变式1-3】（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有某种溶液，，图1中液面高度恰好为棱台高度的一半，图2中液面高度为棱台高度的，若图1和图2中溶液体积分别为，则（    ） A． B． C．1 D． 【题型2 圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积】 【例2】（2023·全国·模拟预测）如图所示，圆锥SO的底面圆半径，侧面展开图扇形SAB的面积为，则此圆锥的体积为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】（2023上·山东·高三校考期中）如图，圆锥的母线长为2，点M为母线的中点，从点M处拉一条绳子绕圆锥的侧面转一周到达B点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·浙江温州·高二统考学业考试）已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023上·辽宁·高三校联考期中）如图，在圆锥PO中，用一个平行于底面的平面去截圆锥PO，可得一个圆锥和一个圆台，若圆锥的体积是圆锥PO体积的，则圆锥与圆台的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【题型3 球的表面积与体积】 【例3