专题18 利用导数证明不等式（知识梳理精讲）-【赢在寒假】2024年高二数学寒假专项课精讲与精练（新教材人教A版2019）

专题18 利用导数证明不等式 知识点一 直接法 利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. （4）对数单身狗，指数找基友 （5）凹凸反转，转化为最值问题 （6）同构变形 例1．（2023·北京·高二北京二十中校考期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：. 1．（2024上·浙江温州·高二统考期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)求证：当时，． 2．（2024上·广东深圳·高三统考期末）已知定义在上的函数. (1)若为单调递增函数，求实数的取值范围； (2)当时，证明：. 知识点二 构造函数 例2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数． (1)证明：； (2)讨论的单调性，并证明：当时，． 1．（2024·河南·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 2．（2023·浙江宁波·统考一模）已知函数（e为自然对数的底数，）. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时， 知识点三 对数单身狗，指数找队友 例3、已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为． （1）求、的值； （2）当且时．求证：． 1．（2023·全国·高三专题练习）当时，求证：． 2．（2023·陕西·校联考模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)证明：时，． 知识点四 同构法 例4、已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求证：在上恒成立； （3）求证：当时，． 1．已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，求证：． 2．已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，证明不等式． 知识点五 综合应用 例5．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知正数数列满足，且.（函数求导次可用表示） (1)求的通项公式. (2)求证：对任意的，，都有. 1．（2023上·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知函数，. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)当时，证明：. 2．（2023上·四川成都·高三校考阶段练习）已知函数． (1)证明：； (2)证明：函数（）在上有唯一零点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 利用导数证明不等式 知识点一 直接法 利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. （4）对数单身狗，指数找基友 （5）凹凸反转，转化为最值问题 （6）同构变形 例1．（2023·北京·高二北京二十中校考期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：. 【解析】（1）,， ,所以切点为，由点斜式可得，， 所以切线方程为：. （2）由题可得， 设， ， 所以当时，， 当时，， 所以在单调递增，单调递减， 所以， 即. 1．（2024上·浙江温州·高二统考期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)求证：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，再分和两种情况讨论即可得解； （2）由（1）可得当时，，要证，只需要证明即可，即，令，利用导数求出的最小值即可得证. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可得当时，， 要证，只需要证明即可， 即，即， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 所以当时，. 2．（2024上·广东深圳·高三统考期末）已知定义在上的函数. (1)若为单调递增函数，求实数的取值范围； (2)当时，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）为单调递增函数，则恒成立，参变分离后构造函数求最值即可得； （2）原不等式变形后即证在上恒成立，作差后构造函数借助导数研究单调性即可得. 【详解】（1）， 为单调递增函数， 当时，恒成立，即恒成立， 令，则， 在上单调递减， ， ，即实数的取值范围为； （2）只需证明：当