1.3 线段的垂直平分线第1课时（同步课件）-2023-2024学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

北师大版 数学 八年级下册 第1课时 第一章 三角形的证明 3 线段的垂直平分线 学习目标 1. 学会综合法证明线段的垂直平分线的性质定理和判断定理.（重点） 2.通过探索、发现、猜测、证明等过程，发展学生的推理证明的能力、规范证明的书写格式.（难点） 复习回顾 1.全等的判定方法有：①SSS,②SAS,③ASA,④AAS,⑤ . HL 2.下列判断一定正确的是（ ） A.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 B.有一个角和一边对应相等的两个直角三角形全等 C.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 D.有两边对应相等,且有一个角为30°的两个等腰三角形全等 A 一、创设情境，引入新知 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？ A B C 应建在C处. 你能说说你的理由吗？ 二、自主合作，探究新知 探究一：线段垂直平分线的性质定理 我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.你能证明这一结论吗? 已知：如图，AC=BC，MN⊥AB，P是MN上任意一点. 求证：PA=PB． A C B P M N 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC，PC=PC， ∴△PCA≌△PCB（SAS）； ∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）． 如果点P与点C重合，那么结论显然成立. 二、自主合作，探究新知 知识要点 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等． P A B ∟ 温馨提示：这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. 文字语言： 符号语言： ∵P在线段AB的垂直平分线上 ∴PA=PB 例1：如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长为(　　)A.6 B.5 C.4 D.3 二、自主合作，探究新知 典型例题 B [解析] ∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，∴PB=PA. ∵PA=5, ∴PB=5.故选B. 二、自主合作，探究新知 探究二：线段垂直平分线的性质定理的逆定理 逆命题：如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上，即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明． 想一想：你能写出上面这个定理的逆命题吗？ 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等． B P A 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上． 二、自主合作，探究新知 证明：（方法一）过点P作已知线段AB的垂线PC， ∵PA=PB，PC=PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL）， ∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上． C 性质定理的逆命题：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 二、自主合作，探究新知 A C B P . （方法二）把线段AB的中点记为C,连接PC. ∵C为AB的中点， ∴AC=BC. ∵PA=PB,PC=PC， ∴△APC≌△BPC(SSS)， ∴∠PCA=∠PCB=90°， ∴PC⊥AB， 即P在AB的垂直平分线上. 二、自主合作，探究新知 判定定理： 几何语言： A B P 注意：这个结论经常用来证明点在直线上（或直线经过某一点）的根据之一． 知识要点 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 如图,∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上). 例2：如图所示，AC=AD，BC=BD，则(　　)A.CD垂直平分线段AB B.AB垂直平分线段CDC.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB 二、自主合作，探究新知 典型例题 B 解析:∵AC=AD, ∴点A在线段CD的垂直平分线上. ∵BC=BD, ∴点B在线段CD的垂直平分线上, ∴AB垂直平分线段CD.故选B. 2.如图所示，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE.若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为 (　　)A.8 B.11 C.16 D.17 1.如图所示，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，则下列结论不一定成立的是(　　)A.AB=AD B.CA平分∠BCD