第七章 复数 （单元复习课件） -【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

人教A版数学 必修二 本章综合 1 2 复数 7.1复数的概念 7.2复数的四则运算 7.3*复数的三角表示 1.复数的概念： 我们把形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位. 全体复数所构成的集合叫做复数集. 复数通常用字母表示，即， 其中把实数叫做复数的实部， 把实数叫做复数的虚部. 3 2.复数大小 不能比较大小，若两个复数可以比较大小，则这两个复数必定都是实数. 3.复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈)． 4.复数分类 对于复数， 当且仅当时，它是实数； 当且仅当时，它是实数0； 当时，它叫做虚数； 当且时，它叫做纯虚数. 4 5.共轭复数： 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． 虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． 复数的共轭复数用表示， 即如果，那么． 5 6.复平面 点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示．这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，． 7.复数的模： 向量的模叫做复数的模或绝对值， 记作．即， 6 8. 7 9.复数的加、减、乘、除运算法则 复数的加法法则. 复数的减法法则 复数的乘法法则 复数的除法法则 8 10.复数加法的运算定律 对于任意有 交换律= 结合律 11.复数乘法的运算定律 对于任意有 交换律：= 结合律： 加法分配律： 9 12.复平面内的两点之间的距离 13.在复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式为： (1)当Δ≥0时， (2)当Δ＜0时， 10 14.复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式． 其中，是复数的模； 是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数的辐角． 叫做复数的三角表示式，简称三角形式． 11 16.辨析： 1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍． 例如，复数的辐角是，其中可以取任何整数． 2)对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的． 3)在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作， 即． 例如， 12 17.复数三角形式的乘、除运算 复数乘法：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 复数除法：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 13 １．选择题 (１)复数与的积是实数的充要条件是(　　)． (２)复数的共轭复数是(　　)． (３)当时，复数在复平面内对应的点位于(　　)． 第一象限 第二象限第三象限 第四象限 (４)复数的辐角主值是(　　)． 14 ２．填空题 (１)若复数的模为，虚部为，则复数＝ ． (２)已知复数，那么＝ ． (３)复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为 ． (４)如果向量对应复数，绕点按逆时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量，那么与对应的复数是 (用代数形式表示). ３．求证：． 证明：设，则 ， ， ， ， ， 于是. ４．已知复数与都是纯虚数，求． 解：由已知，设， 则 由是纯虚数， 得 解得 因此 ５．在复数集中解下列方程： 解： ６．已知，，，求． 解：由已知可得 又 所以 ７．已知，求及． 解 根据复数相等的条件，有解得 ８．(１)求的值； 解：. (２)由(１)推测的值有什么变化规律，并把这个规律用式子表示出来． 解：有 ９．已知复数，，并且，求的取值范围．　 解：由得 消去可得 由于 可得　 １０．在复平面的上半平面内有一个菱形，，点所对应的复数是，求另外两个顶点所对应的复数． 解：由菱形的性质可知，向量是由按逆时针方向旋转得到的， 所以点对应的复数是 点对应的复数是 $$