3.2.1函数的单调性讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

暑假新高一数学 函数单调性与最大（小）值 一、知识要点： (一)函数单调性的定义： 1．如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有 f（x1）＜f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是增函数． 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有 f（x1）＞f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是减函数 2．证明函数是单调函数的一般步骤： （1）在给定的区间内任取两个自变量的值x1，x2，时规定x1＜x2； （2）判定f（x1）－f（x2）的符号在给定的区间内是否不变，并由此得出f（x1）与f（x2）的大小关系； （3）得出f（x）在给定的区间上为单调函数． 3．关于函数单调区间问题： （1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，有些函数在整个定义域内具有单调性． （2）有些函数没有单调区间，或者它的定义域根本就不是区间． （3）函数的单调区间是不能求并集的，即使单调性相同的区间也如此． 例如，函数f（x）＝在区间（－∞，0，（0，＋∞上都是减函数，但不能说在集合（－∞，0∪（0，＋∞是减函数． （4） 对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调．因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以． (二)函数最大（小）值的概念： 设函数的定义域为I，如果存在实数M满足： ①对任意的，都有； ②存在，使得. 则称M是函数的最大（小）值. 二、经典例题： 类型一、通过图像研究单调性 引入：列举初中学过的熟悉的函数，画出图像，并观察图像中y随着x增大时的变化规律。 （1）（2）（3）（4）（5） 总结：如果对于属于定义域I内某个区间y随着x增大而增大那么就说f（x）在这个区间上是增函数．y随着x增大而减少那么就说f（x）在这个区间上是减函数 例1.（1） 函数在区间(0，1)上是（ ） A．递增函数 B．递减函数 C．先递增再递减 D．先递减再递增 （2）若函数在上为增函数,则（ ） A． B． C． D． （3）如果函数在区间（－∞，4）上是减函数，那么实数a的取值范围是（ ） （A）a≥－3 （B）a≤－3 （C）a≤5 （D）a≥3 （4）下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是（ ） A． B． C． D． （5）（多选题）下列函数中，满足对任意，，的是（ ） A． B． C． D． 例2．（1）函数和的递增区间依次是（ ） A． B． C． D． （2）右图为的图象，则它的单调递 减区间是__________________． （3）函数的单调递减区间是_________ （4）（多选题）函数的定义域为，对任意的，都满足，下列结论正确的是（ ） A．函数在上是单调递减函数 B． C．的解为 D． 类型二、利用定义研究单调性 例3. 求证：函数在上递减，在上递增。 例4.判断 在上是增函数还是减函数，并证明你的判断；如果，函数是增函数还是减函数？ 类型三、复合（组合）函数的单调性 例5.求下列函数的单调区间： （1）函数的单调递增区间为 (2)函数的增区间是 的增区间是 类型四、已知含参的函数的单调性，求参数的范围 例6. 函数在上递减，则的取值范围是 ． 例7.若在区间上是增函数，求的取值范围． 题型五：函数单调性应用（最值、解不等式） 例8.(1)函数 ( ) (A)有最大值 (B)有最小值 (C)有最小值 (D)有最大值 （2）函数在区间上有最小值，则的取值范围是 （ ） A． B． C． D． （3）（多选题）已知函数（），，（），则下列结论正确的是（ ） A．，恒成立，则实数的取值范围是 B．，恒成立，则实数的取值范围是 C．，，则实数的取值范围是 D．，， (4)已知函数在定义域上增函数,若,求的取值范围 (5)已知，设，比较与的大小 例9.已知在其定义在上的增函数，，，解不等式． 拓展提高： 1.设函数， (1)求函数在上的值域； (2)若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围 2.函数()的最小值是 . 学科网（北京）股份有限公司 $$