二次函数最值问题 讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

暑假新高一数学 第八讲 二次函数最值问题 1、 要点提示： 1.二次函数的图象和性质 二次函数的图象是一条抛物线，抛物线的对称轴是 ，顶点的坐标 ，因此对任意的实数x，都有 。 当 时，抛物线开中方向 ，在区间 上是递增，在区间 上 ，是递减，因此抛物线在 处，取得最小值 。 当 时，抛物线开中方向 ，在区间 上是递增，在区间 上 ，是递减，因此抛物线在 处，取得最大值 。 2. 求二次函数在给定区间上最值的步骤： （1）定向：根据二次项系数的正负确定其图像的开口方向； （2）求轴：求出图象的对称轴； （3）定性：根据对称轴与给定区间的关系，确定其单调性； （4）定值：根据单调性，确定二次函数在给定区间上的最值。 二、例题精析 例1.求下列函数的最值： （1） （2）， （3）， （4） 例2.（1)求函数的值域 （2）已知函数在区间上有最小值，求的表达式. （3）已知函数，当时，恒成立，求实数的取值范围. 例3.（1）函数在区间[0，1]上有最大值为2，求实数a。 （2）函数在上有最大值4，求实数a的值。 拓展提高：已知函数在上有最大值为3，求实数a的值。 例4.已知二次函数和一次函数，其中a，b，c满足，。 （1）求证：两函数的图象交于不同的两点； （2）求线段AB在x轴上的射影之长的取值范围。 例5.有甲,乙两种商品,经营销售这两种商品所能获得利润依次是万元和万元,它们与投入的资金万元的关系,有经验公式：；,今有万元资金投入经营甲,乙两种商品,为了获得最大利润,对甲,乙两种商品的资金投入分别是多少,能获最大利润是多少？ 三、精选习题 1.二次函数，当x= 时，函数y有最 值是 . 2.函数在闭区间上的最大值和最小值之和为（ ） A． B． C． D． 3.若函数的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，则b的取值为 ． 4.若，则的最小值为 . 5.如果二次函数在上是减函数，在上是增函数，则的最小值为（ ） A、-1 B、1 C、-2 D、0 6.已知函数的定义域为[0，m]，值域为，则m的范围是（ ） A. B. C. D. 7.已知f（x）是二次函数，且f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1， （1）求f（x）的表达式； （2）若f（x）＞a在x∈[﹣1，1]恒成立，求实数a的取值范围． 8.已知二次函数在区间上有最小值5，求在区间上的最大值. 9.若二次函数在区间[0，1]上的值恒为正数，求实数a的取值范围。 10.某商场出售一种商品，每天卖1000件，每件获利4元．根据经验，若每件少卖1角钱，则每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每件获利应定为________元． 四、拓展提高 1.设x、y是关于m的方程的两个实根，则的最小值是（ ） A． B． C．18 D．8 2.在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，…，an，共n个数据．我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小．依此规定，从a1，a2，…，an推出的a＝_____________. 学科网（北京）股份有限公司 $$