等式性质与不等式性质导学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

暑假新高一数学 第五讲 等式的性质和不等式的性质 一、知识要点： 知识点1： 不等关系 1．两个实数比较大小的依据 (1)a＞b⇔a－b＞0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a＜b⇔a－b＜0. 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0⇒ ＞ (n∈N，n≥2)． 注：(1)同向不等式可以相加，不能相减； (2)一个不等式的两边同乘以同一正数，不等号方向不变；同乘以同一负数，不等号方向改变． 知识点2： 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式：Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异 实数根x1， x2(x1<x2) 有两相等实 数根x1＝x2 ＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1 或x>x2} {x|x≠x1} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ 知识点3： 常用结论 1．倒数性质：(1)a>b，ab>0⇒<； (2)a<0<b⇒<； (3)a>b>0，d>c>0⇒>. 2．分数性质：若a>b>0，m>0，则真分数性质：<；>(b－m>0)。 考点一： 比较两个数(式)的大小 【例1】（1）已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N B．M >N C．M＝N D．不确定 （2）设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　) A．A≤B B．A≥B C．A<B D．A>B （3）若实数m≠1，比较m＋2与的大小． （4）设，求证：. 规律方法：比较两个数大小的常用方法 考点二： 不等式的性质及应用 【例2】（1）已知，为非零实数，且，则下列不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． （2）若，则下列不等式中正确的是　　 A． B． C． D． （3）若非零实数，满足，则下列不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． （4）若，，则下列不等式中必然成立的一个是　　 A． B． C． D． （5）若，则下列不等式正确的是　　 A． B． C． D． （6）（多选题）若，下列不等式正确的是　　 A． B． C． D． （7）已知，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【例3】 （1）已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________． （2）已知，求的取值范围。 规律方法：利用不等式的性质求取值范围的方法 由a<f(x，y)<b，c<g(x，y)<d，求F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)(或其他形式)，通过恒等变形求得m，n的值，再利用不等式的同向可加性和可乘性求得F(x，y)的取值范围． 此类问题的一般解法：(1)建立待求整体与已知范围的整体的关系；(2)通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．　　 考点三： 一元二次不等式的解法 【例4】解下列不等式： （1）－3x2－2x＋8≥0； （2）0＜x2－x－2≤4. （3） （4）； 【例5】（1）解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)． （2）（多选题）关于x的不等式的解集可能的是（　　） A． B． C． D． (3) 关于的不等式的解集中整数恰有三个，则的取值范围为________。 规律方法：解含参数的一元二次不等式的步骤 学科网（北京）股份有限公司 $$