第三讲 充分条件与必要条件 讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

暑假新高一数学 第三讲 充分条件与必要条件 一、知识要点： 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 2．充要条件 （1）一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件． 概括地说，（1）如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． （2）若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件． （3）若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件． （4）若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件． 考点1：充分条件、必要条件的判断 例1.（1）“”是“”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （3）已知，则“”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 （4）（多选题）对任意实数，，，给出下列命题： ①“”是“”的充要条件； ②“是无理数”是“是无理数”的充要条件； ③“”是“”的必要条件； ④“”是“”的充分条件. 其中真命题是（ ）. A．① B．② C．③ D．④ 例2.（1）下列条件中，是x2<4的必要不充分条件的是(　　) A．－2≤x≤2　　 B．－2<x<0 C．0<x≤2 D．1<x<3 （2）“”的一个充分但不必要的条件是(　　) A． B． C． D． 考点2：充分条件、必要条件、充要条件的应用 例3.已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________． 变式1：本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围. 变式2：若本例题改为：已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围. 练习： 已知p：，q：. （1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围； 考点3：充要条件的探求与证明 例4.求证：是等边三角形的充要条件是.这里是的三条边． 变式1：求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 规律方法：充分条件、必要条件的判断方法 （1）定义法：直接利用定义进行判断． （2）等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立． （3）利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充分必要条件． 巩固练习： 1.已知，，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2.a+b<4且ab<4是a<2且b<2的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4.已知 “p：(x－m)2>3(x－m)”是“q：x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 (　　) A．m>1或m<－7 B．m≥1或m≤－7 C．－7<m<1 D．－7≤m≤1 5.若是 的必要不充分条件，则实数的值为________． 6.（多选题）下列结论中正确的是（　　） A．“x2＞4”是“x＜﹣2”的必要不充分条件 B．“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件 C．若a、b∈R，则“a2+b2≠0”是“a、b不全为0”的充要条件 D．在△ABC中，“AB2+AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件 7.（多选题）下列说法正确的是（ ） A．是的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件 C．是的充分不必要条件 D．是的必要不充分条件 8.已知集合，. （1）若=1求； （2）若>0，设命题，命题，已知命题p是命题q的充分不必要条件，求实数的取值围. 学科网（北京）股份有限公司 $$