5 特色专题（10） 隐圆问题（Word讲义）-【正禾一本通】2024高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

特色专题(十)　隐圆问题　　　► 对应学生用书P78 【编者按】　隐圆问题近几年在高考题和各地模拟题中都出现过，难度为中高档，在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”． 题型一　利用圆的定义、方程确定隐形圆 【例1】(1)已知M，N为圆C：x2＋y2－2x－4y＝0上两点，且|MN|＝4，点P在直线l：x－y＋3＝0上，则|＋|的最小值为(　　) A．2－2 B．2 C．2＋2 D．2－ 解析：选A.设线段MN的中点为D，圆C：x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1，2)，半径为，则圆心C到直线MN的距离为＝1，所以|CD|＝1，故点D的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，设点D的轨迹为圆D，圆D上的点到直线l的最短距离为t＝－1＝－1，所以|＋|＝|2|＝2||≥2t＝2－2. (2)(2023·茂名模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，若向量c满足|a＋b－2c|＝1，则|c|的取值范围是(　　) A．[1，－1] B． C． D． 解析：选C.|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，以a为y轴，b为x轴，建立平面直角坐标系， 设＝a＝(0，1)，＝b＝(2，0)，＝c＝(x，y)， 所以a＋b－2c＝(2－2x，1－2y)， 由|a＋b－2c|＝1，可得(2－2x)2＋(1－2y)2＝1， 化简可得(x－1)2＋＝， 所以点C的轨迹是以为圆心，以r＝为半径的圆，原点(0，0)到的距离为d＝＝， 所以|c|＝的取值范围是[d－r，d＋r]，即. 对于动点的轨迹问题，一是利用曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义识别动点的轨迹，二是利用直接法求出方程，通过方程识别轨迹． 题型二　由圆周角的性质确定隐形圆 【例2】(1)已知点P(2，t)，Q(2，－t)(t>0)，若圆C：(x＋2)2＋(y－3)2＝1上存在点M，使得∠PMQ＝90°，则实数t的取值范围是(　　) A．[4，6] B．(4，6) C．(0，4]∪[6，＋∞) D．(0，4)∪(6，＋∞) 解析：选A.由题意知，点P(2，t)，Q(2，－t)(t>0)， 可得以PQ为直径的圆C1的方程为(x－2)2＋y2＝t2， 则圆心C1(2，0)，半径R＝t， 又由圆C：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， 可得圆心C(－2，3)，半径r＝1， 两圆的圆心距为|CC1|＝＝5， 要使得圆C：(x＋2)2＋(y－3)2＝1上存在点M，使得∠PMQ＝90°， 即两圆存在公共点，则满足 即解得4≤t≤6， 所以实数t的取值范围是[4，6]. (2)(2023·长沙雅礼中学质检)已知直线l：x－y＋4＝0上动点P，过P点作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为C，D，记M是CD的中点，则直线CD过定点________，点M的轨迹方程为______________． 解析：如图，连接PO，CO，DO， 因为PD⊥DO，PC⊥CO，所以P，D，O，C在以PO为直径的圆上， 设P(x0，x0＋4)， 则以OP为直径的圆的方程为＋＝， 化简得x2－x0x－(x0＋4)y＋y2＝0，与x2＋y2＝4联立， 可得CD所在直线的方程为x0x＋(x0＋4)y＝4⇒x0(x＋y)＝4(1－y)⇒⇒ 直线CD过定点Q(－1，1)，又OM⊥CD， 所以OM⊥MQ，所以点M在以OQ为直径的圆上， 所以点M的轨迹为＋＝. 答案：(－1，1)　＋＝ 利用圆的性质，圆周角为直角，即可得到：若PA⊥PB或∠APB＝90°，则点P的轨迹是以AB为直径的圆．注意轨迹中要删除不满足条件的点． 题型三　阿波罗尼斯圆 【例3】(多选)(2023·江西省重点中学联考)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“若A，B为平面上相异的两点，则所有满足：＝λ(λ>0，且λ≠1)的点P的轨迹是圆”，后来人们称这个圆为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，A(－2，0)，B(4，0)，若λ＝，则下列关于动点P的结论正确的是(　　) A．点P的轨迹方程为x2＋y2＋8x＝0 B．△APB面积的最大值为6 C．在x轴上必存在异于A，B的两定点M，N，使得＝ D．若点Q(－3，1)，则2|PA|＋|PQ|的最小值为5 解析：选ACD.对于选项A，设P(x，y)， 因为P满足＝，所以＝，化简得x2＋y2＋8x＝0，故A正确； 对于选项B，由选项A可知， 点P的轨迹方程为x2＋y2＋8x＝0， 即(x＋4)2＋y2＝16，所以点P的轨迹是以(－4，0)为圆心，