2.1 等差数列与等比数列（Word讲义）-【正禾一本通】2024高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

第一讲 等差数列与等比数列　► 对应学生用书P15 考点1　等差、等比数列的基本运算 1．等差数列 (1)Sn＝＝na1＋d； (2)am＝an＋(m－n)d； (3)若m，n，p成等差数列，则2an＝am＋ap. 2．等比数列 (1)Sn＝＝(q≠1)； (2)am＝an·qm－n； (3)若m，n，p成等比数列，则a＝am·ap. 【典例】 (1)(2023·全国甲卷)已知正项等比数列{an}中，a1＝1，Sn为{an}前n项和，S5＝5S3－4，则S4＝(　　) A．7 B．9 C．15 D．30 解析：选C.由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4， 即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0. 由题知q>0，所以q＝2. 所以S4＝1＋2＋4＋8＝15. (2)(2023·山东济宁一模)在等比数列{an}中，a1＋a3＝1，a6＋a8＝－32，则＝(　　) A．－8 B．16 C．32 D．－32 解析：选D.设等比数列{an}的公比为q， 则a6＋a8＝(a1＋a3)q5＝1×q5＝－32，所以q5＝－32， 故＝＝q5＝－32. 1.等差(比)数列的运算技巧：(1)在进行等差(比)数列项求和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解；(2)要注意消元法及整体计算，以减少计算量． 2．由等差数列、等比数列组成的综合问题，首先要根据两数列的概念，设出相应的基本量，充分使用通项公式、求和公式、数列的性质，确定基本量．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，揭示问题的内在联系和隐含条件，形成解题策略． 1.(2023·云南师大附中模拟)《九章算术》是我国秦汉时期的一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共出百钱．欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士(爵位依次变低)5个人，共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为(　　) A．10 B．14 C．23 D．26 解析：选D.设大夫、不更、簪袅、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列{an}．由题意可知，在等差数列{an}中，a2＝17，前5项和为100，设公差为d(d>0)，前n项和为Sn，则S5＝5a3＝100，解得a3＝20，所以d＝a3－a2＝3，所以公士出的钱数为a5＝a3＋2d＝20＋2×3＝26.故选D. 2．(2023·四川德阳三模)已知等比数列{an}有前n项和Sn＝2n－a(a为常数)，则数列{}的前5项和为(　　) A．或5 B．或5 C． D． 解析：选C.∵Sn＝2n－a，∴a1＝S1＝2－a，a2＝22－a－(2－a)＝2，a3＝23－a－(22－ a)＝4.又数列{an}为等比数列，∴2－a＝1，即a＝1.∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴数列{}是首项为1，公比为的等比数列，∴数列{}的前5项和为＝. 考点2　等差、等比数列的性质 1．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列，有aman＝apaq＝a. 2．前n项和的性质： (1)对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数时除外). (2)对于等差数列有S2n－1＝(2n－1)an. [典例](1)(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A．120 B．85 C．－85 D．－120 解析：选C.法一　设等比数列{an}的公比为q，首项为a1， 若q＝1，则S6＝6a1＝3×2a1＝3S2，与题意不符，所以q≠1； 由S4＝－5，S6＝21S2可得，＝－5，＝21×①， 由①可得，1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4， 所以S8＝＝×(1＋q4)＝－5×(1＋16