2 特色专题（5） 子数列问题（Word讲义）-【正禾一本通】2024高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

特色专题(五)　子数列问题　　► 对应学生用书P25 【编者按】　子数列问题包括数列中的奇偶项、公共数列以及分段数列，最近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列． 题型一　数列中奇数项、偶数项问题 【例1】(2023·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16. (1)求{an}的通项公式； (2)证明：当n＞5时，Tn＞Sn. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，而bn＝k∈N*， 则b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6， 于是解得故an＝a1＋(n－1)d＝2n＋3， 所以数列{an}的通项公式是an＝2n＋3. (2)法一　由(1)知，Sn＝＝n2＋4n，bn＝k∈N*， 当n为偶数时，bn－1＋bn＝2(n－1)－3＋4n＋6＝6n＋1， Tn＝·＝n2＋n， 当n＞5时，Tn－Sn＝－＝n(n－1)＞0，因此Tn＞Sn； 当n为奇数时，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝(n＋1)2＋(n＋1)－＝n2＋n－5， 当n＞5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝(n＋2)(n－5)＞0，因此Tn＞Sn. 综上，当n＞5时，Tn＞Sn. 法二　由(1)知，Sn＝＝n2＋4n，bn＝k∈N*， 当n为偶数时，Tn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝·＋·＝n2＋n， 当n＞5时，Tn－Sn＝－＝n(n－1)＞0，因此Tn＞Sn； 当n为奇数时，若n≥3，则Tn＝(b1＋b3＋…＋bn)＋(b2＋b4＋…＋bn－1)＝·＋·＝n2＋n－5，显然T1＝b1＝－1满足上式，因此当n奇数时，Tn＝n2＋n－5， 当n＞5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝(n＋2)(n－5)＞0，因此Tn＞Sn. 综上，当n＞5时，Tn＞Sn. 1.数列中的奇、偶项问题的常见题型 (1)数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))； (2)含有(－1)n的类型； (3)含有{a2n}，{a2n－1}的类型； (4)已知条件明确的奇偶项问题． 2．数列中的奇、偶项问题的求和方法 对于通项公式分奇、偶项有不同表达式的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k. 【对点练】 1.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＋an＝4n. (1)求数列{an}的前100项和S100； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)∵a1＝1，an＋1＋an＝4n， ∴S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝4×1＋4×3＋…＋4×99＝4×(1＋3＋5＋…＋99)＝4×502＝10 000. (2)由题意，an＋1＋an＝4n，① an＋2＋an＋1＝4(n＋1)，② 由②－①得，an＋2－an＝4，由a1＝1，a1＋a2＝4，所以a2＝3. 当n为奇数时，an＝a1＋×4＝2n－1， 当n为偶数时，an＝a2＋×4＝2n－1， 综上所述，an＝2n－1. 题型二　两数列的公共项 【例2】已知数列{an}的前n项和Sn＝，{bn}的前n项之积Tn＝2(n∈N*). (1)求{an}与{bn}的通项公式； (2)把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数列记为{cn}，求c1＋c2＋…＋c20的值． 解：(1)由Sn＝， 当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1， 当n＝1时，上式也成立， 所以an＝3n－1，由Tn＝2，当n＝1时，b1＝T1＝2，当n≥2时，bn＝＝2n，当n＝1时，上式也成立， 所以bn＝2n， (2)数列{an}和{bn}的公共项依次为21，23，25，27，…， ∵21，23，25，27，…构成首项为2，公比为4的等比数列，∴cn＝2×4n－1， 则c1＋c2＋…＋c20＝ ＝. 两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两个等差数列公差的最小公倍数，两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数． 【对点练】 2.(2023·湖北黄冈中学三模)已知数列{an}的通项公式an＝2n－1，保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak＋1(k＝1，2，3…)之间插入2k个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，记{bn}的前n项和为Tn，则T100的值为________． 解析：因为ak与ak＋1(k＝1，2，3，…)之间插入2k个1，所以ak在数列{bn}中对应的项数n＝k＋21＋22＋23＋…＋2k－1＝k＋＝2k＋k－2，当k＝6时