1 特色专题（2） 极化恒等式、等和线（Word讲义）-【正禾一本通】2024高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

特色专题(二)　极化恒等式、等和线　► 对应学生用书P10 　　　　　　　　　　　　　　题型一　向量极化恒等式　　　　　　　 极化恒等式：a·b＝()2－()2. 变式：(1)a·b＝－，a·b＝－. (2)如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则·＝AM2－CB2＝AM2－MB2． 【例1】 (1)如图所示，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E，O，F为线段BD的四等分点，则·＝________． 解析：BD＝＝12， ∴AO＝6，OE＝3， ∴由极化恒等式知·＝AO2－OE2＝36－9＝27. 答案：27 (2)已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(＋)·的最小值是________． 解析：如图所示，取OC的中点D，连接PD， 因为O为AB中点，所以(＋)·＝2·， 由极化恒等式得·＝PD2－DO2＝PD2－， 因此当D为OC的中点，即||＝0时，(＋)·取得最小值－. 答案：－ 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题． 【对点练】 1.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．·＝4，·＝－1，则·的值为________． 解析：设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n. 根据向量的极化恒等式，得·＝AD2－DB2＝9n2－m2＝4，① ·＝FD2－DB2＝n2－m2＝－1.② 联立①②，解得n2＝，m2＝. 因此·＝ED2－DB2＝4n2－m2＝. 即·＝. 答案： 2．平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值为________． 解析：由向量极化恒等式知a·b＝＝ ≥＝－， 当且仅当|2a＋b|＝0，|2a－b|＝3，即|a|＝，|b|＝，〈a，b〉＝π时，a·b取最小值． 答案：－ 题型二　等和(高)线解基底系数和(差)问题 平面内一组基底，及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线． ①当等和线恰为直线AB时，k＝1； ②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)； ③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； ④当等和线过O点时，k＝0； ⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； ⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比． 【例2】 (1)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(　　) A． B． C． D．1 解析：选A.法一　设＝t(0≤t≤1)， 则＝＝(＋)＝＋＝＋＝＋(－)＝(－)＋， 所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝. 法二　如图，过N作BC的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝.由图易知，＝. (2)如图，圆O是边长为2的等边△ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，＝x＋y(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为(　　) A． B． C．2 D．2 解析：选C.如图，作出定值k为1的等和线DE，AC是过圆上的点最远的等和线， 则＝x＋y＝2x＋y， 当M在N点所在的位置时，2x＋y最大，设2x＋y＝k，则k＝＝2， 所以2x＋y取得最大值2. 要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，以此来求其他的等和(高)线． 【对点练】 3.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的上运动，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的最大值是________． 解析：法一　以O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图(1)所示， 则A(1，0)，B(－，)， 设∠AOC＝α(α∈[0，])，则C(cos α，sin α). 由＝x＋y，得所以 所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin (α＋)， 又α∈[0，]，所以当α＝时，x＋y取得最大值2. 法二　令x＋y＝k，在所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，如图(2)，即此时k取得最大值，结合角度，不难得到k＝＝2. 答案：2 学科网（北京）股份有限公司 $$