1 特色专题（1） 三角函数中ω，φ的范围问题（Word讲义）-【正禾一本通】2024高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

特色专题(一)　三角函数中ω，φ的范围问题　► 对应学生用书P5 【编者按】　三角函数中ω、φ的范围问题是高考的重点和热点，这类问题一般涉及值域、单调性、奇偶性(对称性)、周期性、零点、极值点等性质． 题型一　三角函数的最值(值域)与ω、φ的取值范围 【例1】 若函数f(x)＝sin (ωx－)(ω>0)在[0，]上的值域是[－，1]，则ω的取值范围是(　　) A．(0，] B．[，3] C．[3，] D．[，] 解析：选B.因为ω>0，所以当x∈[0，]时，ωx－∈[－，－].又因为函数f(x)＝sin (ωx－)(ω>0)在[0，]上的值域是[－，1]，所以≤－≤，解得≤ω≤3. 求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围． 【对点练】 1.已知函数f(x)＝sin ωx＋a cos ωx(a>0，ω>0)的最大值为2，若使函数f(x)在区间[0，3]上至少取得两次最大值，则ω的取值范围是____________． 解析：f(x)＝sin ωx＋a cos ωx＝sin (ωx＋φ)， 因为f(x)max＝＝2，a>0，故a＝，原式为f(x)＝2sin (ωx＋)， 当f(x)取到最大值时，ωx＋＝＋2kπ，k∈Z， 当x∈[0，3]，f(x)取得两次最大值时，k分别为0和1，当k＝1时，ωx＋＝＋2π，x＝，此时需满足≤3，解得ω≥. 答案：[，＋∞) 题型二　三角函数的性质与ω、φ的取值范围 【例2】 (1)已知函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)的图象在(－π，0)内恰有3条对称轴，3个对称中心，则ω的取值范围是(　　) A．(，] B．[，) C．[，) D．(，] 解析：选A.当x∈(－π，0)时，ωx＋∈(－πω＋，)，画出函数y＝sin x的部分图象，如图所示． 因为f(x)的图象在(－π，0)内恰有3条对称轴，3个对称中心，所以－πω＋∈[－3π，－)，解得ω∈(，]. 故选A. (2)(2023·柳州模拟)若直线x＝是曲线y＝sin (ωx－)(ω>0)的一条对称轴，且函数y＝sin (ωx－)在区间[0，]上不单调，则ω的最小值为(　　) A．9 B．7 C．11 D．3 解析：选C.因为直线x＝是曲线y＝sin (ωx－)(ω>0)的一条对称轴，则ω－＝kπ＋，k∈Z，即ω＝4k＋3，k∈Z， 由－≤ωx－≤，得－≤x≤， 则函数y＝sin (ωx－)在[－，]上单调递增， 而函数y＝sin (ωx－)在区间[0，]上不单调，则<，解得ω>9， 所以ω的最小值为11. 1.若三角函数在区间[a，b]上单调递增，则区间[a，b]是该函数单调递增区间的子集，利用集合的包含关系即可求解． 2．三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值． 【对点练】 2.已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|≤)的图象离原点最近的对称轴为x＝x0，若满足|x0|≤，则称f(x)为“近轴函数”．若函数y＝2sin (2x－φ)是“近轴函数”，则φ的取值范围是(　　) A．[，] B．[－，－] C．[－，－]∪[，] D．[－，] 解析：选C.y＝2sin (2x－φ)，令2x－φ＝＋kπ，k∈Z，∴图象的对称轴为x＝＋＋，k∈Z.∵|x0|≤，∴|＋＋|≤，k∈Z，∴－－kπ≤φ≤－－kπ(k∈Z)，又|φ|≤，∴当k＝0时，－≤φ≤－；当k＝－1时，≤φ≤，∴φ的取值范围是[－，－]∪[，].故选C. 3．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的一个对称中心为(－，0)，f(x)在区间(，π)上不单调，则ω的最小正整数值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B.由函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的一个对称中心为(－，0)，可得f(－)＝sin (－ω＋φ)＝0，所以－ω＋φ＝k1π(k1∈Z)，φ＝ω＋k1π(k1∈Z)，f′(x)＝ωcos (ωx＋φ)，由f(x)在区间(，π)上不单调，所以f′(x)＝ωcos (ωx＋φ)＝0在区间(，π)上有解，所以ωx