5 特色专题（11） 圆锥曲线问题的优化运算策略（课件PPT）-【正禾一本通】2024高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

2024版·数学（新高考） 01篇　强化7 大专题 特色专题(十一)　圆锥曲线问题的 优化运算策略 专题五 解析几何 【编者按】　圆锥曲线解答题是高考必考题，其中第(2)问往往是通过方程研究曲线的性质．如弦长问题、中点弦问题、定点与定值问题、范围与最值问题、存在性探究题等等．这一问综合性强，运算量较大，对数学运算素养要求较高．如果能根据题目的特征，巧设“点”“线”，设而不求，选用恰当的运算方法，则可合理的简化运算，提升效率和正确率． 策略一　利用圆锥曲线的定义解题 【例1】(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　) A． eq \f(x2,2) ＋y2＝1 B． eq \f(x2,3) ＋ eq \f(y2,2) ＝1 C． eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,3) ＝1 D． eq \f(x2,5) ＋ eq \f(y2,4) ＝1 解析：由题意设椭圆的方程为 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝ eq \f(a,2) ，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝ eq \f(1,a) .在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝ eq \f(\f(a,2),\f(3a,2)) ＝ eq \f(1,3) ，所以 eq \f(1,3) ＝1－2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))) eq \s\up12(2) ，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为 eq \f(x2,3) ＋ eq \f(y2,2) ＝1.故选B. 答案：B 和周长，线段之和，面积有关的问题，常直接利用圆锥曲线的定义解决，可有效地优化运算，减少运算量． 策略二　利用平面几何性质解题 【例2】(2016·全国Ⅲ卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　) A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,2) C． eq \f(2,3) D． eq \f(3,4) 解析：由题意，不妨设直线l的方程为y＝k(x＋a)，k>0，分别令x＝－c与x＝0，得|FM|＝k(a－c)，|OE|＝ka. 设OE的中点为G，由△OBG∽△FBM，得 eq \f(\f(1,2)|OE|,|FM|) ＝ eq \f(|OB|,|BF|) ， 即 eq \f(ka,2k（a－c）) ＝ eq \f(a,a＋c) ，整理得 eq \f(c,a) ＝ eq \f(1,3) ，故椭圆的离心率e＝ eq \f(1,3) ，故选A. 答案：A 利用圆锥曲线的几何性质，构建图形，利用平面几何定理有效地解题，能够合理地减少运算量． 策略三　利用二级结论解题 【例3】(2017·全国Ⅰ卷)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　) A．16 B．14 C．12 D．10 解析：设l1，l2的倾斜角分别为α， eq \f(π,2) ＋α(或α－ eq \f(π,2) )， 则|AB|＝ eq \f(2p,sin2α) ＝ eq \f(4,sin2α) ，|DE|＝ eq \f(2p,sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))) ＝ eq \f(4,cos2α) ， |AB|＋|DE|＝ eq \f(4,sin2α) ＋ eq \f(4,cos2α) ＝4(sin2α＋cos2α) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,sin2α)＋\f(1,cos2α))) ＝4(2＋ eq \f(sin2α,cos2α) ＋ eq \f(