5 特色专题（10） 隐圆问题（课件PPT）-【正禾一本通】2024高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

2024版·数学（新高考） 01篇　强化7 大专题 特色专题（十） 隐圆问题 专题五 解析几何 【编者按】　隐圆问题近几年在高考题和各地模拟题中都出现过，难度为中高档，在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”． 题型一　利用圆的定义、方程确定隐形圆 【例1】(1)已知M，N为圆C：x2＋y2－2x－4y＝0上两点，且|MN|＝4，点P在直线l：x－y＋3＝0上，则| eq \o(PM,\s\up6(→)) ＋ eq \o(PN,\s\up6(→)) |的最小值为(　　) A．2 eq \r(2) －2 B．2 eq \r(2) C．2 eq \r(2) ＋2 D．2 eq \r(2) － eq \r(5) 解析：设线段MN的中点为D，圆C：x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1，2)，半径为 eq \r(5) ，则圆心C到直线MN的距离为 eq \r(（\r(5)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))\s\up12(2)) ＝1，所以|CD|＝1，故点D的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，设点D的轨迹为圆D，圆D上的点到直线l的最短距离为t＝ eq \f(|1－2＋3|,\r(2)) －1＝ eq \r(2) －1，所以| eq \o(PM,\s\up6(→)) ＋ eq \o(PN,\s\up6(→)) |＝|2 eq \o(PD,\s\up6(→)) |＝2| eq \o(PD,\s\up6(→)) |≥2t＝2 eq \r(2) －2. 答案：A (2)(2023·茂名模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，若向量c满足|a＋b－2c|＝1，则|c|的取值范围是(　　) A．[1， eq \r(5) －1] B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)－1,2)，\f(\r(3)＋1,2))) C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，\f(\r(5)＋1,2))) D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)＋1,2)，\f(5,2))) 解析：|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，以a为y轴，b为x轴，建立平面直角坐标系， 设 eq \o(OA,\s\up6(→)) ＝a＝(0，1)， eq \o(OB,\s\up6(→)) ＝b＝(2，0)， eq \o(OC,\s\up6(→)) ＝c＝(x，y)， 所以a＋b－2c＝(2－2x，1－2y)， 由|a＋b－2c|＝1，可得(2－2x)2＋(1－2y)2＝1，化简可得(x－1)2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2))) eq \s\up12(2) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(2) ， 所以点C的轨迹是以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2))) 为圆心，以r＝ eq \f(1,2) 为半径的圆，原点(0，0)到 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2))) 的距离为d＝ eq \r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(\r(5),2) ， 所以|c|＝ eq \r(x2＋y2) 的取值范围是[d－r，d＋r]，即 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，\f(\r(5)＋1,2))) . 答案：C 对于动点的轨迹问题，一是利用曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义识别动点的轨迹，二是利用直接法求出方程，通过方程识别轨迹． 题型二　由圆周角的性质确定隐形圆 【例2】(1)已知点P(2，t)，Q(2，－t)(t>0)，若圆C：(x＋2)2＋(y－3)2＝1上存在点M，使得∠PMQ＝90°，则实数t的取值范围是(　　) A．[4，6] B．(4，6) C．(0，4]∪[6，＋∞) D．(0，4)∪(6，＋∞) 解析：由题意知，点P(2，t)，Q(2，－t)(t>0)， 可得以